Đáp án:
$\frac{\sqrt[]{2}-1}{3}$
Giải thích các bước giải:
Đặt DM=x, BN=y, ta có:
Tan$45^{o}$=Tan($\widehat{DAM}$+$\widehat{BAN )}$=$\frac{Tan\widehat{DAM}+Tan\widehat{BAN }}{1-Tan\widehat{DAM}.Tan\widehat{BAN}}$ =$\frac{x+y}{1-xy}$. Suy rs: y=$\frac{1-x}{1+x}$
Và AM=$\sqrt[]{AD^2+DM^2}$ =$\sqrt[]{x^2+1}$
AN=$\sqrt[]{AB^2+BN^2}$ =$\sqrt[]{y^2+1}$=$\sqrt[]{(\frac{1-x}{1+x})^2+1}$ =$\frac{\sqrt[]{2(x^2+1)}}{x+1}$
Vậy $V_{SAMN}$ =$\frac{1}{3}$.SA.$S_{AMN}$ =$\frac{1}{3}$ .1.AM.AN.Sin$45^{o}$ =f(x)=$\frac{x^2+1}{6(x+1)}$ $\geq$ f($\sqrt[]{2}$-1)=$\frac{\sqrt[]{2}-1}{3}$