Đáp án:
$\dfrac{19a^3}{54}$
Giải thích các bước giải:
Thể tích khối chóp $S.ABCD:$
$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SA$
$\to V_{S.ABCD} = \dfrac13\cdot \dfrac12(BC+AD)\cdot AB\cdot SA$
$\to V_{S.ABCD}=\dfrac16\cdot (a+2a)\cdot a \cdot a = \dfrac{a^3}{2}$
Gọi $E$ là trung điểm $AD$
$\to ABCE$ là hình vuông
$\to AC\perp BE$
mà $SA\perp BE\quad (SA\perp (ABCD))$
nên $BE\perp (SAC)$
$\to BE\perp SC$
Từ $B$ kẻ $BM\perp SC$
$\to SC\perp (BME)$
Từ $M$ kẻ $MN\perp SC\quad (N\in SD)$
$\to SC\perp (BMNE)$
$\to (BMNE)\subset (\alpha)$
Ta có:
$SA\perp BC$
$AB\perp BC$
$\to BC\perp (SAB)$
$\to BC\perp SB$
$\to ΔSBC$ vuông tại $B$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔSBC$ vuông tại $B$ đường cao $BM$ ta được:
$\dfrac{SM.SC}{MC.SC} = \dfrac{SB^2}{BC^2}$
$\to \dfrac{SM}{SC} = \dfrac{SA^2 + AB^2}{BC^2}$
$\to \dfrac{SM}{SC} = \dfrac{2a^2}{a^2} = 2$
$\to \dfrac{MC}{SC} = \dfrac13$
Gọi $MH = d(M;(ABCD))$
$\to MH//SA$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{MH}{SA} = \dfrac{MC}{SC}$
$\to MH = \dfrac{MC}{SC}\cdot SA$
$\to MH = \dfrac13\cdot a = \dfrac{a}{3}$
Bên cạnh đó:
$AC\perp BE$
$AC\perp CD\quad \left(CE = \dfrac12AD = a\right)$
$\to BE//CD$
mà $BC//ED\quad (BC//AD)$
nên $BCDE$ là hình bình hành
$\to S_{BCDE} = 2S_{BEC} = BC.CE = a^2$
Do đó:
$V_{M.BCDE} = \dfrac13S_{BCDE}.MH$
$\to V_{M.BCDE} = \dfrac13\cdot a^2\cdot \dfrac a3 = \dfrac{a^3}{9}$
Ta có:
$SA\perp CD$
$AC\perp CD$
$\to CD\perp (SAC)$
$\to CD\perp SC$
$\to CD//MN$
$\to MN//(ABCD)$
Kẻ $NP\perp AD$
$\to NP//SA$
$\to NP\perp (ABCD)$
$\to NP = d(N;(ABCD))$
mà $MN//(ABCD)$
nên $d(N;(ABCD))= d(M;(ABCD))= MH$
$\to NP = MH =\dfrac a3$
Gọi $MK = d(M;(SAD))$
Bên cạnh đó:
$CE\perp AD$
$SA\perp CE$
$\to CE\perp (SAD)$
$\to CE//MK$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{MK}{CE} = \dfrac{SM}{SC}$
$\to MK = \dfrac{SM}{SC} \cdot CE$
$\to MK = \dfrac23\cdot a = \dfrac{2a}{3}$
Do đó:
$V_{M.NDE} = \dfrac13S_{NDE}.MK$
$\to V_{M.NDE} = \dfrac13\cdot \dfrac12NP\cdot DE\cdot MK$
$\to V_{M.NDE} = \dfrac16\cdot \dfrac a3\cdot a \cdot \dfrac{2a}{3} = \dfrac{a^3}{27}$
Ta được:
$V_{BCDENM} = V_{M.BCDE} + V_{M.NDE}$
$\to V_{BCDENM} = \dfrac{a^3}{9} + \dfrac{a^3}{27}$
$\to V_{BCDENM} = \dfrac{4a^3}{27}$
Khi đó:
$V_{S.ABENM} = V_{S.ABCD} - V_{BCDENM}$
$\to V_{S.ABENM} = \dfrac{a^3}{2}- \dfrac{4a^3}{27}$
$\to V_{S.ABENM} = \dfrac{19a^3}{54}$
