a) $\Delta SAB$ đều cạnh $a$ có $SI=\dfrac{a\sqrt3}{2}$
$\Delta SCD$ vuông cân đỉnh $S\Rightarrow SJ=CJ=DJ=\dfrac{CD}{2}=\dfrac a2$
$SC=SD=\dfrac a{\sqrt2}, IJ=AD=BC=a$
Xét $\Delta SIJ,$ có:
$IJ^2=AD^2=a^2$
$SI^2+SJ^2=\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}=a^2$
$\Rightarrow IJ^2=SI^2+SJ^2\Rightarrow\Delta SIJ\bot S$ (định lý Pitago đảo)
$\Rightarrow SI\bot SJ$ (1)
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta IBC\bot B$ có:
$IC^2=BI^2+BC^2=\dfrac{a^2}{4}+a^2=\dfrac{5a^2}{4}$
Xét $\Delta SIC$ có:
$SI^2+SC^2=\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{5a^2}{4}=IC^2$
$\Rightarrow \Delta SIC\bot S$ (theo định lý Pitago đảo)
$SI\bot SC$ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
$\left\{\begin{array}{I}SI\bot SJ\\SI\bot SC\\SJ,SC\subset(SCD)\end{array}\right.\Rightarrow SI\bot(SCD)$
Chứng minh tương tự $SJ\bot(SAB)$
b) Ta có:
$\left\{\begin{array}{I}CD\bot IJ \\CD\bot SI(\text{do }SI\bot(SCD))\end{array}\right.\Rightarrow CD\bot(SIJ)$
Mà $SH\subset(SIJ)\Rightarrow CD\bot SH$
$\left\{\begin{array}{I}SH\bot IJ(\text{giả thiết})\\CD\bot SH(cmt)\\IJ,CD\subset(ABCD)\end{array}\right.\Rightarrow SH\bot(ABCD)$.
