Cho hàm số \(f\left( x \right)\) dương và liên tục trên \(\left[ {1;3} \right]\) thỏa mãn \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\) và biểu thức\(S = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\int\limits_1^3 {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}dx} \) đạt GTLN, khi đó hãy tính \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \).
A.\(\dfrac{5}{2}\).
B.\(\dfrac{3}{5}\).
C.\(\dfrac{7}{5}\).
D.\(\dfrac{5}{4}\).

Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 2\,\,\left( C \right)\) đối xứng nhau qua điểm \(I\left( { - 1;3} \right)\). Tọa độ điểm A là:
A.\(A\left( {1;4} \right)\).
B.\(A\left( { - 1;0} \right)\).
C.Không tồn tại.
D.\(A\left( {0;2} \right)\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z - 8 = 0\) và ba điểm \(A\left( {0; - 1;0} \right),\,B\left( {2;3;0} \right),C\left( {0; - 5;2} \right)\). Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(MA = MB = MC\). Tổng \(S = {x_0} + {y_0} + {z_0}\) bằng
A.\( - 12\).
B.\( - 5\).
C.\(9\).
D.\(12\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(M\left( {1;1;1} \right),N\left( {1;0; - 2} \right),P\left( {0;1; - 1} \right)\). Gọi \(G\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là trực tâm tam giác MNP. Tính \({x_0} + {z_0}\).
A.0.
B.\( - \dfrac{{13}}{7}\)
C.\(\dfrac{5}{2}\).
D.\( - 5\).

Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng
A.\(\sqrt 3 \pi {a^2}\).
B.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\pi {a^2}\).
C.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\pi {a^2}\)
D.\(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\pi {a^2}\).

Xét các số phức \(z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn có phương trình \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\). Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là \(w = z + \overline z + 2i\)
A.Đường thẳng.
B.Đoạn thẳng.
C.Điểm.
D.Đường tròn.

Trong không gian với hệ tọa dộ Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,B\left( {0;1;0} \right)\),\(C\left( {0;0;1} \right),\,D\left( {0;0;0} \right)\). Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều bốn mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\left( {BCD} \right),\left( {CDA} \right),\left( {DBA} \right)\)?
A.5
B.1
C.8
D.4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) và điểm \(M\left( {1; - 1;1} \right)\). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất có phương trình là:
A.\(x + y + z - 1 = 0\).
B.\(x - y + z - 3 = 0\).
C.\(x - y + z - 1 = 0\).
D.\(2x - y - 3z = 0\).

Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 1\) và \(\int\limits_1^4 {f\left( t \right)dt} = - 3\). Giá trị của \(\int\limits_2^4 {f\left( u \right)du} \) là:
A.4.
B.2.
C.-4.
D. -2.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình \({8^x}{.2^{1 - {x^2}}} > {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2x}}\)
A.4
B.5
C.2
D.3