Đáp án: `d(M; SBD) =6`
Giải thích các bước giải:
$\text{ +) Ta có }$ `(AO)/(CO)=(d(A; SBD))/(d(C; SBD))`
$\text{Do ABCD là hình chữ nhật nên các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường}$
`=> AO=OC`
`=> (d(A; SBD))/(d(C; SBD))=(AO)/(CO)=1`
`=> d(C; SBD) = d(A; SBD) (1)`
$\text{+) Ta lại có}$ `(SM)/(SC)=(d(M; SBD))/(d(C; SBD))`
$\text{Do M là trung điểm SC}$
`=> SM = 2SC`
`=> (d(M; SBD))/(d(C; SBD)) = (SM)/(SC) = 1/2`
`=> (d(C; SBD))/2 = d(M; SBD) (2)`
$\text{Từ (1) và (2)}$ `=> d(M; SBD) = (d(A; SBD))/2`
$\text{+) Kẻ AH vuông góc BD (3) }$;
$\text{Kẻ AK ⊥ SH (4)}$
$\text{Do SA ⊥ (ABCD) mà DB ∈ (ABCD); => SA ⊥ BD (5)}$
$\text{Từ (3) và (5) => BD ⊥ (SAH); Mà AK ∈ (SAH); => BD ⊥ AK (6)}$
$\text{Từ (4) và (6) => AK ⊥ (SBD)}$
$\text{=> Khoảng cách từ A tới SBD là AK}$
$\text{+) Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:}$
`1/(AD)^2+1/(AB)^2=1/(AH)^2`
`<=> 1/(AH)^2 = 1/(39^2)+1/(13^2)=10/(1521)`
`=> AH = sqrt(1 : 10/(1521)) = (39)/(sqrt(10))`
$\text{+) Xét tam giác SAH vuông tại A ta có:}$
`1/(SA)^2+1/(AH)^2=1/(AK)^2`
`=> 1/(AK)^2 = 1/(52)^2+1/((39)/(sqrt(10)))^2=1/(144)`
`=> AK = sqrt(1:1/(144)) = 12`
`=> d(A; SBD) = 12`
`=> d(M; SBD) = (d(A; SBD))/2=(12)/2=6`
