Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), chứng minh \(BC \bot \left( {SAM} \right)\) , từ đó xác định chiều cao hạ từ đỉnh \(S\) của khối chóp bằng cách sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
- Xác định tỉ số \(\dfrac{{d\left( {T;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}};\,\,\,\dfrac{{{S_{\Delta {G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\), từ đó suy ra tỉ số \(\dfrac{{{V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{V_{S.ABC}}}}\).
- Tính chiều cao của khối chóp, chính là chiều cao của tam giác \(SAM\) nhờ vào diện tích tam giác \(SAM\), muốn tính \({S_{\Delta SAM}}\) ta sử dụng định lí Pytago tính từng cạnh của tam giác sau đó áp dụng công thức He-rong \({S_{\Delta SAM}} = \sqrt {p\left( {p - SA} \right)\left( {p - AM} \right)\left( {p - SM} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác \(SAM\).
- Tính \({V_{S.ABC}}\), từ đó tính \({V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}}\), suy ra \(a,\,\,b\) và tính \(P\).Giải chi tiết:
Xét tam giác \(SAB\) và \(\Delta SAC\) có:
\(\begin{array}{l}SA\,\,chung\\AB = AC\,\,\left( {gt} \right)\\\angle SAB = \angle SAC = {30^0}\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAC\,\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow SB = SC\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta SBC\) cân tại \(S\).
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,AC\) ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}SM \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\).
Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(SH \bot AM\,\,\left( {H \in AM} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot AM\\SH \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Dễ thấy \(\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//\left( {ABC} \right)\) và \(\dfrac{{d\left( {S;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{{S{G_1}}}{{SM}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow d\left( {S;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}SH\).
\( \Rightarrow d\left( {T;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right) = 2SH - \dfrac{2}{3}SH = \dfrac{4}{3}SH\).
Lại có \(\Delta {G_1}{G_2}{G_3}\) đồng dạng với \(\Delta ABC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{{G_1}{G_2}}}{{AB}} = \dfrac{{{G_1}{G_2}}}{{MN}}.\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta {G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{1}{9}{S_{\Delta ABC}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{d\left( {T;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}}.\dfrac{{{S_{\Delta {G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{9} = \dfrac{4}{{27}}\\ \Rightarrow {V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{4}{{27}}{V_{S.ABC}}\end{array}\)
Xét tam giác vuông \(ABM\) có: \(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}}  = \sqrt {{4^2} - {1^2}}  = \sqrt {15} \).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BC = \dfrac{1}{2}.\sqrt {15} .2 = \sqrt {15} \).
Xét tam giác \(SAB\) có:
\(\begin{array}{l}S{B^2} = S{A^2} + A{B^2} - 2SA.AB.\cos \angle SAB\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} + {4^2} - 2.4\sqrt 3 .4.\cos {30^0} = 16\\ \Rightarrow SB = 4 = SC\end{array}\)
Xét tam giác vuông \(SBM\) có \(SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}}  = \sqrt {{4^2} - {1^2}}  = \sqrt {15} \).
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(SAM\) ta có \(p = \dfrac{{SA + AM + SM}}{2} = \dfrac{{4\sqrt 3  + \sqrt {15}  + \sqrt {15} }}{2} = 2\sqrt 3  + \sqrt {15} \).
\( \Rightarrow {S_{\Delta SAM}} = \sqrt {p\left( {p - SA} \right)\left( {p - AM} \right)\left( {p - SM} \right)}  = \sqrt {36}  = 6\).
Lại có \({S_{\Delta SAM}} = \dfrac{1}{2}SH.AM \Rightarrow SH = \dfrac{{2{S_{\Delta SAM}}}}{{AM}} = \dfrac{{2.6}}{{\sqrt {15} }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt {15} }}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{12}}{{\sqrt {15} }}.\sqrt {15}  = 4\)   \( \Rightarrow {V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{4}{{27}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{4}{{27}}.4 = \dfrac{{16}}{{27}}\).
\( \Rightarrow a = 16;\,\,b = 27\). Vậy \(P = 2a - b = 2.16 - 27 = 5\).
Chọn C.