Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có mặt bên vuông góc với đáy \(R = \sqrt {R_b^2 + R_d^2 - \dfrac{{g{t^2}}}{4}} \) với \({R_b},\,\,{R_d}\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy và bán kính mặt cầu ngoại tiếp đáy, \(gt\) là giao tuyến của mặt bên vuông góc đáy và mặt đáy.Giải chi tiết:Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều cạnh 1 nên \({R_b} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\), đáy là tam giác đều cạnh 1 nên \({R_d} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).Ta có \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\) và \(AB = 1\).Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) là: \(R = \sqrt {R_b^2 + R_d^2 - \dfrac{{g{t^2}}}{4}} = \sqrt {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{6}\).Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{6}} \right)^3} = \dfrac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}\).Chọn C
