Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Ta có: \(A\left( {0;0;0} \right)\); \(E\left( {0;2; - 1} \right)\); \(D\left( {2;0;0} \right)\); \(BE' = 1;EE' = AS = 1\)
\(AI \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow I\) là trực tâm \(\Delta SBC\) mà \(\Delta SBC\) đều nên \(I\) là trọng tâm \(\Delta SBC\)
\( \Rightarrow SI = \dfrac{2}{3}SH \Rightarrow \overrightarrow {SI}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {SH} \)
\(I\left( {a,b,c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SI}  = \left( {a,b,c - 1} \right)\)
\(H\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SH}  = \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\\b = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\\c - 1 = \dfrac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow \,\,I\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)
Điểm \(F\) đối xứng với \(A\) qua \(I\) nên \(F\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {2;0;0} \right),\,\,\overrightarrow {AE}  = \left( {0;2; - 1} \right)\, \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} } \right] = \left( {0;2;4} \right)\)
\( \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} } \right].\overrightarrow {AF} } \right| = 4\)
\({V_{ADEF}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AE} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AF} } \right|\)\( = \dfrac{1}{6}.4 = \dfrac{2}{3}\)
Vậy thể tích khối tứ diện \(ADEF\) là \(\dfrac{{2a^3}}{3}\)
Chọn A.