- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). - Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến. - Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(AM,\,\,SA\), từ đó tính \(AB\) và \({S_{\Delta ABC}}\). - Tính thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).Giải chi tiết: Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot SM\). \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA = {30^0}\). Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH = a\). Xét tam giác vuông \(AHM\) ta có: \(AM = \dfrac{{AH}}{{\sin {{30}^0}}} = \dfrac{a}{{1/2}} = 2a\). Xét tam giác vuông \(SAM\) ta có \(SA = AM.\tan {30^0} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\). Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AM = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = \dfrac{{2AM}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{4}{{\sqrt 3 }}a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}\). Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{8{a^3}}}{9}\). Chọn B
