Lời giải:
a) Ta có:
$\begin{cases}SA\perp BC\quad (SA\perp (ABC))\\BC\perp AC\quad (gt)\\SA\cap AC=\{A\}\end{cases}$
$\Rightarrow BC\perp (SAC)$
b) Ta có:
$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\AC\perp BC\quad (gt)\\AC\subset (ABC)\\SC\perp BC\quad (BC\perp (SAC))\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SCA}$
Xét $\triangle SAC$ vuông tại $A$ có:
$\quad \tan\widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{a\sqrt2}{a} = \sqrt2$
$\Rightarrow \widehat{SCA} = \arctan\sqrt2$
Vậy $\widehat{((SBC);(ABC))} =\arctan\sqrt2$
c) Trong $mp(SAC)$ kẻ $AH\perp SC\quad (H\in SC)$
Khi đó:
$\begin{cases}BC\perp AH\quad (BC\perp SAC))\\AH\perp SB\\SB\cap BC=\{B\}\end{cases}$
$\Rightarrow AH\perp (SBC)$
$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SAC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AC^2}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2 + AC^2}}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt2.a}{\sqrt{2a^2 + a^2}} = \dfrac{a\sqrt6}{3}$
Vậy $d(A;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt6}{3}$
