Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác : Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},{\mkern 1mu} {B_1},{\mkern 1mu} {C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,{\mkern 1mu} SB,{\mkern 1mu} SC\). Khi đó, \(\dfrac{{{V_{S.{\kern 1pt} {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\). Từ đó suy ra thể tích khối chóp S.ABC.
- Gọi \(H\) là trung điểm của BC, chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và tính SH.
- Tính diện tích \(\Delta ABC\) theo \(x\).
- Đặt \(SA = m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m > 0} \right)\), sử dụng định lí Cosin trong tam giác tính AB.
- Chứng minh \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), từ đó suy ra \(AH \bot BC\).
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH tìm \(x\).Giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của BC, do tam giác SBC cân tại \(S\) \( \Rightarrow SH \bot BC\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = BC}\\{SH \subset \left( {SBC} \right),SH \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Tam giác SBC có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SB = SC = 1}\\{\angle BSC = {{60}^0}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \Delta SBC\) đều cạnh 1 và \(SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\), \(BH = CH = \dfrac{1}{2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{V_{S.CMN}}}}{{{V_{S.CAB}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{2x}}}\\{ \Rightarrow {V_{S.CAB}} = 2x{V_{S.CMN}} = 2x.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{32}} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{{16}}}\\{ \Rightarrow \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{{16}}}\\{ \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{{16}}}\\{ \Leftrightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{x\sqrt 6 }}{8}}\end{array}\)
Đặt \(SA = m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m > 0} \right)\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SHA có:\(AH = \sqrt {S{A^2} - S{H^2}}  = \sqrt {{m^2} - \dfrac{3}{4}} \) .
Xét \(\Delta SAB\) và \(\Delta SAC\) có: SA chung, \(\angle ASB = \angle ASC = {60^0}\), \(SB = SC = 1\).
\( \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AB = AC\).
\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AH \bot BC\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SAB ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{A{B^2} = S{B^2} + S{A^2} - 2.SA.SB.\cos \angle ASB}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = 1 + {m^2} - 2.1.m.\dfrac{1}{2} = {m^2} - m + 1}\end{array}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}}\\{ \Leftrightarrow {m^2} - m + 1 = {m^2} - \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}}\end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow AH = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2} - \dfrac{3}{4}}  = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}}\\{ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}.1 = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}}\\{ \Rightarrow \dfrac{{x\sqrt 6 }}{8} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4} \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left( {tm} \right).}\end{array}\)
Chọn B.