Lời giải:
a) Ta có:
$\begin{cases}BD\perp AC\quad \text{(hai đường chéo hình vuông)}\\SC\perp BD\quad (SC\perp (ABCD))\\AC\cap SC= \{C\}\end{cases}$
$\Rightarrow BD\perp (SAC)$
$\Rightarrow BD\perp SA$
Khi đó:
$\begin{cases}BD\perp SA\quad (cmt)\\BK\perp SA\quad (gt)\\BD\cap BK = \{B\}\end{cases}$
$\Rightarrow SA\perp (BKD)$
b) Trong $mp(SBC)$ kẻ $CH\perp SB$
Ta có:
$\begin{cases}SC\perp AB\quad (SC\perp (ABCD))\\AB\perp BC\quad (gt)\\SC\cap BC=\{C\}\end{cases}$
$\Rightarrow AB\perp (SBC)$
$\Rightarrow AB\perp CH$
Khi đó:
$\begin{cases}AB\perp CH\quad (cmt)\\CH\perp SB\quad \text{(cách dựng)}\\AB\cap SB= \{B\}\end{cases}$
$\Rightarrow CH\perp (SAB)$
$\Rightarrow CH = d(C;(SAB))$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SBC$ vuông tại $C$ đường cao $CH$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{CH^2} = \dfrac{1}{SC^2} + \dfrac{1}{BC^2}$
$\Rightarrow CH = \dfrac{SC.BC}{\sqrt{SC^2 + BC^2}}$
$\Rightarrow CH = \dfrac{a\sqrt3.a}{\sqrt{3a^2 + a^2}}$
$\Rightarrow CH = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
