Đáp án:
\(\arccos\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)
Giải thích các bước giải:
Vì ABCD là nửa lục giác đều
$⇒AD=DC=CB=a$
$+)$ Dựng đường thẳng đi qua A và $\perp(SCD)$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ dựng $AH\perp CD$ tại H $⇒CD\perp ( SAH)$
Trong mặt phẳng $(SAH)$ dựng $AP\perp SH⇒CD\perp AP⇒AP\perp(SCD)$
$+)$ Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với $(SBC)$
Trong mặt phẳng $(SAC)$ dựng $AQ\perp SC$
Mặt khác: $AQ\perp BC$ vì $BC\perp AC; BC\perp SA$
$⇒BC\perp (SAC)$
$⇒BC\perp AQ$
$⇒AQ\perp (SBC)$
$⇒$ Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là AP và AQ.
Có $AH=\sqrt{AD^2-HD^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}4}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$⇒\dfrac 1{AP^2}=\dfrac 1{AS^2}+\dfrac 1{AH^2}$
$⇒AP=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
$ΔSAC$ vuông cân tại A
$⇒AQ=\dfrac{SC}2=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
$ΔAPQ$ vuông tại P $⇒\cos \widehat{PAQ}=\dfrac{AP}{AQ}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
$⇒\widehat{PAQ}=\arccos\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
