Đáp án:
\({V_{ABCDMNP}} = \dfrac{{5V}}{6}\).
Giải thích các bước giải:
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(O = AC \cap BD\).
Trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(I = MN \cap SO\).
Trong \(\left( {SAC} \right)\) kéo dài AI cắt SC tại N.
MP là đường trung bình của tam giác SBD => MP // BD => MI // OB
Xét tam giác SOB có:
M là trung điểm của SB
MI // OB (cmt)
=> I là trung điểm của SO (định lí đường trung bình của tam giác).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SOC ta có:
\(\dfrac{{AO}}{{AC}}.\dfrac{{NC}}{{NS}}.\dfrac{{IS}}{{IO}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{{NC}}{{NS}}.1 = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{NC}}{{NS}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{1}{3}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{2}V = \dfrac{V}{{12}}\\\dfrac{{{V_{S.ANP}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SN}}{{SC}}.\dfrac{{SP}}{{SD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{S.ANP}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{2}V = \dfrac{V}{{12}}\\ \Rightarrow {V_{S.AMNP}} = {V_{S.AMN}} + {V_{S.ANP}} = \dfrac{V}{{12}} + \dfrac{V}{{12}} = \dfrac{V}{6}\end{array}\)
Ta có: \({V_{S.AMNP}} + {V_{ABCDMNP}} = V \Rightarrow {V_{ABCDMNP}} = V - \dfrac{V}{6} = \dfrac{{5V}}{6}\).
Vậy \({V_{ABCDMNP}} = \dfrac{{5V}}{6}\).
