a) Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD$
$\Rightarrow IJ$ là đường trung bình $\Delta BCD\Rightarrow IJ\parallel BD$ (1)
Do $K$ là trọng tâm $\Delta SBC\Rightarrow \dfrac{SK}{SI}=\dfrac{2}{3}$
$G$ là trọng tâm $\Delta SCD\Rightarrow\dfrac{SG}{SJ}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow\dfrac{SK}{SI}=\dfrac{SG}{SJ}=\dfrac{2}{3}$
Theo định lí Talet$ \Rightarrow KG\parallel IJ$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow KG\parallel BD$
b) Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow H$ là trung điểm cạnh $AO$
Qua $H$ vẽ đường thẳng song song với $BD$ cắt $AB$ và $AD$ lần lượt tại $E,F$
$\Rightarrow E,F$ là trung điểm cạnh $AB,AD$
Gọi $IJ\cap AC=Q\Rightarrow SQ\cap KG=R$
$HR\cap SC=M$
$SO\cap PL=X$ qua $X$ kẻ đường thẳng song song với $BD$ cắt $SB,SD$ lần lượt là: $P,L$
$\Rightarrow (HGK)\cap(ABCD)=EF$
$(HGK)\cap(SAD)=FL$
$(HGK)\cap(SCD)=LM$
$(HGK)\cap(SBC)=MP$
$(HGK)\cap(SAB)=PE$
$\Rightarrow $ thiết diện của hình chóp cắt bởi $(HGK)$ là ngũ giác $EFLMP$
c) $\Delta HRQ$ có $O$ là trung điểm của $HQ$, gọi $Z$ là trung điểm của $RQ$
$\Rightarrow OZ\parallel HR\parallel XR$
Ta có: $\dfrac{SP}{SB}=\dfrac{SX}{SO}=\dfrac{SR}{SZ}=\dfrac{SR}{SR+RZ}=\dfrac{SR}{SR+\dfrac{1}{2}RQ}$
$=\dfrac{SR}{SR+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}SR}=\dfrac{4}{5}$
