a.
Gọi H là trung điểm của AB
Ta có:
$\begin{cases}BC \perp AB\\BC \perp SH (SH \perp (ABCD))\end{cases}$
\(\Rightarrow BC \perp (SAB)\)
Mà \(BC \subset (SBC)\)
\(\Rightarrow (SAB) \perp (SBC)\)
b. Từ A kẻ \(AF \perp SB\)
Ta có:
$\begin{cases}AF \perp SB\\AF \perp BC (BC \perp (SAB))\end{cases}$
\(\Rightarrow AF \perp (SBC)\)
+ \(SA \bigcap (SBC)=S\)
+ \(AF \perp (SBC)\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat{[SA,(SBC)]}=\widehat{ASF}\)
Xét \(\Delta SAH\) và \(\Delta SBH\) vuông tại H:
Ta có: \(SH\) cạnh chung
\(AH=BH\) (gt)
\(\Rightarrow\) \(\Delta SAH\) = \(\Delta SBH\) (c.g.c)
\(\Rightarrow SA=SB\) (cạnh tương ứng)
Mà \(SA=AB=a\)
Vậy \(SA=AB=SB=a\)
\(\Rightarrow \Delta SAB\) là tam giác đều
Nên \(\widehat{[SA,(SBC)]}=\widehat{ASF}=60°\)
c.
\(SD \bigcap (ABCD)=D\)
Do \(SH \perp (ABCD)\)
Nên \(HD \) là hình chiếu \(SD\) lên \((ABCD)\)
Vậy \(\widehat{[SD;(ABCD)]}=\widehat{SDH}\)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào \(\Delta SAH\) vuông tại H:
\(SH=\sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{a^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào \(\Delta AHD\) vuông tại A:
\(HD=\sqrt{AD^{2}+AH^{2}}=\sqrt{3a^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}a\)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào \(\Delta SHD\) vuông tại H:
Ta có: \(SD=\sqrt{SH^{2}+HD^{2}}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)^{2}+(\dfrac{\sqrt{13}}{2}a)^{2}}=2a\)
\(\sin \widehat{SDH}=\dfrac{SH}{SD}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}a}{2a}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)
