Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat {ABC} = {60^0}.\) Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,SD\). Biết cosin góc giữa hai đường thẳng \(CN\) và \(SM\)

tranvietanh281005

2 năm trước

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat {ABC} = {60^0}.\) Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,SD\). Biết cosin góc giữa hai đường thẳng \(CN\) và \(SM\) bằng \(\dfrac{{2\sqrt {26} }}{{13}}.\) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng:
A.\(\dfrac{{\sqrt {38} {a^3}}}{{24}}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt {19} {a^3}}}{{12}}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{12}}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt {38} {a^3}}}{{12}}.\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 26 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nangmaip303hue

Đáp án đúng: D

Giải chi tiết:
+) \({S_{ABCD}} = 2.{S_{ABC}} = 2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) (1)
+) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của MD, GD \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}NP\parallel SM \Rightarrow \left( {\widehat {SM;NC}} \right) = \left( {\widehat {NP;NC}} \right)\\NQ\parallel SG \Rightarrow NQ \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\) .
Tính được: \(GC = QC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3},\,MG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6},\,DG = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác MDC vuông tại C \( \Rightarrow CP = \dfrac{1}{2}DM = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{4}\)
Đặt \(SG = x\left( {x > 0} \right) \Rightarrow NQ = \dfrac{x}{2},\,\,SM = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} \Rightarrow NP = \dfrac{1}{2}\sqrt {{x^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} \).
Tam giác NQC vuông tại Q \( \Rightarrow NC = \sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} \)
Xet tam giác NPC có: \({\rm{cos}}\widehat {PNC} = \dfrac{{N{P^2} + N{C^2} - P{C^2}}}{{2.NP.NC}}\), mà \({\rm{cos}}\angle \left( {NP;NC} \right) = \dfrac{{2\sqrt {26} }}{{13}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\dfrac{{N{P^2} + N{C^2} - P{C^2}}}{{2.NP.NC}}} \right| = \dfrac{{2\sqrt {26} }}{{13}}\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{12}} + {x^2}} \right) + \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} \right) - \dfrac{{7{{\rm{a}}^2}}}{{16}}}}{{2.\sqrt {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{12}} + {x^2}} \right).\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} \right)} }}} \right| = \dfrac{{2\sqrt {26} }}{{13}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {6{x^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^2} + 12{x^2}} \right)\left( {3{x^2} + 4{a^2}} \right)}} = \dfrac{8}{{13}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 180{x^4} - 564{a^2}{x^2} - 19{a^4} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{19}}{6}{a^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt {19} a}}{{\sqrt 6 }}\end{array}\)
\( \Rightarrow SG = \dfrac{{\sqrt {19} a}}{{\sqrt 6 }}\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2) suy ra: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt {19} a}}{{\sqrt 6 }}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {38} }}{{12}}\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho 5,75 g hỗn hợp Mg, Al và Cu tác dụng với dung dịch HNO3 loãng, dư thu được 1,12 lít (đktc) hỗn hợp khí X gồm NO và N2O (đktc). Tỉ khối của X đối với khí H2 là 20,6. Khối lượng muối nitrat sinh ra trong dung dịch là
A.27,45 g.
B.13,13 g.
C.58,91 g.
D.17,45 g.

Nêu nội dung chính của đoạn trích trên.
A.
B.
C.
D.

Tập hợp các giá trị thực của m để phương trình \({2^x} + 3 = m\sqrt {{4^x} + 1} \)có nghiệm là \(\left( {a;b} \right]\). Tính \({a^2} + 2{b^2}\)?
A.\(22\)
B.\(18\)
C.\(21\)
D.\(20\)

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết đồ thị \(\left( C \right)\) cắt \(Ox,\,\,Oy\) lần lượt tại \(A,\,\,B\). Có bao nhiêu điểm \(M\) có tọa độ nguyên thuộc \(\left( C \right)\) sao cho \({S_{\Delta MAB}} = 3\).
A.\(0\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(1\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số: \(y = {\log _3}\left( {{9^x} - {3^x} + m} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
A.\(m > \dfrac{1}{4}\)
B.\(m > 0\)
C.\(m < \dfrac{1}{4}\)
D.\(m \ge \dfrac{1}{4}\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số: \(y = \dfrac{{ - 1}}{3}{x^3} - 2m{x^2} + mx + 1\) có 2 điểm cực trị \({x_1},\,\,{x_2}\) nằm về 2 phía trục \(Oy\).
A.\(m < 0\)
B.\(m > 0\)
C.\( - \dfrac{1}{4} < m < 0\)
D.\(\left[ \begin{array}{l}m < - \dfrac{1}{4}\\m > 0\end{array} \right.\)

Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9. Khối chóp có thể tích V lớn nhất bằng:
A.\(V = 144\)
B.\(V = 144\sqrt 6 \)
C.\(V = 576\sqrt 2 \)
D.\(V = 576\)

Gọi X là tập các số tự nhiên gồm 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ X, tính xác suất để chọn được một số có mặt bốn chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ.
A.\(\dfrac{5}{{54}}\)
B.\(\dfrac{1}{{7776}}\)
C.\(\dfrac{{45}}{{54}}\)
D.\(\dfrac{{49}}{{54}}\)

Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(SA = SB = SC = a\), \(\angle SAB = {30^0}\), \(\angle SBC = {60^0}\), \(\angle SCA = {45^0}\). Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(SD\)?
A.\(\dfrac{{4a\sqrt {11} }}{{11}}\)
B.\(\dfrac{{a\sqrt {22} }}{{22}}\)
C.\(\dfrac{{a\sqrt {22} }}{{11}}\)
D.\(\dfrac{{2a\sqrt {22} }}{{11}}\)

Cho hàm số \(y = \dfrac{{3x + 1}}{{x - 4}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\), với mọi điểm \(M\) thuộc \(\left( C \right)\) thì tích các khoảng cách từ \(M\) tới 2 đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) bằng:
A.\(11\)
B.\(12\)
C.\(14\)
D.\(13\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến