Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:
Xét \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}M\,\,chung\\BC//AD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN//AD//BC\,\,\left( {N \in SD} \right)\).
\( \Rightarrow \) Thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {MBC} \right)\) là hình thang \(MNCB\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SC}} = k\,\,\left( {k > 0} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = k \Rightarrow {V_{S.MBC}} = k{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{2}k{V_{S.ABCD}}\\\dfrac{{{V_{S.MCN}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = {k^2} \Rightarrow {V_{S.MCN}} = {k^2}{V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{2}{k^2}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.MNCB}} = \dfrac{1}{2}\left( {k + {k^2}} \right){V_{S.ABCD}}\end{array}\)
Theo bài ra ta có \(\dfrac{1}{2}\left( {k + {k^2}} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow k + {k^2} = 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\,\,\left( {do\,\,k > 0} \right)\).
Chọn C