Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Xét tam giác \(ABE\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\):
\(\left\{ \begin{array}{l}AB.AE = AH.BE\\A{E^2} + A{B^2} = B{E^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB.AE = 2{a^2}\\A{B^2} + A{E^2} = 5{a^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB.AE = 2{a^2}\\{\left( {AB + AE} \right)^2} - 2AB.AE = 5{a^2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB.AE = 2{a^2}\\AB + AE = 3a\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \) Độ dài \(AB,\,\,AE\) là hai nghiệm của phương trình \({X^2} - 3aX + 2{a^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 2a\\X = a\end{array} \right.\).
Vì \(AB > AE \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = 2a\\AE = a\end{array} \right.\).
Xét tam giác vuông\(AHB\) có: \(BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}}  = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{4{a^2}}}{5}}  = \dfrac{{4\sqrt 5 }}{5}a\).
Xét tam giác \(SHB\) vuông tại \(H\) có: \(SH = BH.\cot \angle BSH = \dfrac{{4a\sqrt 5 }}{5}\).
Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}} \Rightarrow BC = 4a\).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }}.2a.4a = \dfrac{{32{a^3}\sqrt 5 }}{{15}}\).
Chọn A