d) Vẽ AK ⊥ SM (K ∈ SM) (1)

Ta có BC⊥SM; BC⊥AM ⇒ BC⊥(SAM) ⇒ BC⊥AK (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AK⊥(SBC)

Theo giả thiết, dễ tính ra AM = a$\sqrt3$; SO = 2a; SA = SB = $\dfrac{4a\sqrt3}{3}$; BM = a

SM² = SB² - BM² = $\dfrac{16a²}3 - a² = \dfrac{13a²}3$

SG cắt AB tại N ⇒ N là trung điểm AB ⇒ SN = SM. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ N đến (SBC)

⇒ NH = $\dfrac{AK}2 =\dfrac{ S_{\Delta SAM}}{SM} =\dfrac{ SO.AM}{2SM}$

sin(SG; (SBC)) = sin(SN;(SBC)) =$\dfrac{ NH}{SN} =\dfrac{ SO.AM}{2SM²} =\dfrac{ 2a.a\sqrt3}{\dfrac{26a²}{3}} =\dfrac{ 3\sqrt3}{13}$

a) $SABC$ là chóp tam giác đều đáy $ABC$ là tam giác đều, các cạnh bên bằng nhau, $SO\bot(ABC)$

Góc giữa cạnh bên SA và đáy bằng góc giữa SA và AO

$\begin{array}{l}  \Rightarrow \widehat {SAO} = {60^0}\\ \text{Do }AM = \dfrac{{AB.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \\  \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3};OM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\\ \text{Trong }\Delta SAO:\\ SO = AO.\tan \widehat {SAO} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\tan {60^0} = 2a\\ \text{b) Ta có: }(SBC)\cap(ABC)=BC,OM \bot BC;SM\\ \Rightarrow\widehat{(SBC),(ABC)}=(SM,OM)=\widehat{SMO}\\ \text{Trong }\Delta SOM\\  \Rightarrow \tan \widehat {SMO} = \dfrac{{SO}}{{OM}} = \dfrac{{2a}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = 2\sqrt 3 \\  \Rightarrow \widehat {SMO} \approx {74^0}\\  \Rightarrow \widehat {(\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right))} = {74^0}\\ \text{c) }BC\bot SO,OM\Rightarrow BC\bot(SOM)\\ \Delta SOM\text{ dựng }OH\bot SM\text{ và có }OH\bot BC\\ OH \bot \left( {SBC} \right)\\  \Rightarrow {d_{O , \left( {SBC} \right)}} = OH\\ \Delta SOM \bot \text{ tại }\,O;OH \bot SM\\  \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}}=\dfrac1{4a^2}+\dfrac3{a^2}=\dfrac{13}{4a^2}\\  \Rightarrow OH = \dfrac{2a}{\sqrt{13}}\\  \Rightarrow {d_{O ,\left( {SBC} \right)}} = \dfrac{2a}{\sqrt{13}} \end{array}$

d) Gọi N là trung điểm của AB suy ra G nằm trên SN Kẻ AK // OH, K nằm trên SM

Do OH ⊥ (SBC) suy ra AK ⊥ (SBC)

Trong mp (AKB) kẻ NP // AK suy ra NP là đường trung bình của tam giác AKB và NP ⊥ (SBC)

$\begin{array}{l}  \Rightarrow \widehat {(SG;\left( {SBC} \right))} = \widehat {(SN;\left( {SBC} \right))}\\  = \widehat {\left( {SN;SP} \right)} = \widehat {NSP} \end{array}$

Ta có thể tính được:

$\begin{array}{l} SN = \sqrt {S{A^2} - A{N^2}} \\  = \sqrt {S{O^2} + A{O^2} - A{N^2}} \\  = \sqrt {4{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{3} - {a^2}}  = \dfrac{{\sqrt {13} a}}{\sqrt3}\\ AK = 2NP = 3.OH\\  \Rightarrow NP = \dfrac{3}{2}OH = \dfrac{3}{2}.\dfrac{2a}{\sqrt{13}}=\dfrac{3a}{\sqrt{13}}\\ \text{Trong }\Delta SNP \bot \text{ tại }P\\  \sin \widehat {NSP} = \dfrac{{NP}}{{SN}} = \dfrac{\dfrac{3a}{\sqrt{13}}}{ \dfrac{{\sqrt {13} a}}{\sqrt3}} = \dfrac{3\sqrt3}{13}\\  \Rightarrow \sin \widehat {(SG;\left( {SBC} \right))} = \dfrac{3\sqrt3}{13} \end{array}$