Đáp án: `d(A; SBC)=(asqrt(8))/sqrt(11)`
Giải thích các bước giải:
$\text{ Do S.ABC là hình chóp đều mà O là tâm đáy ABC nên SO ⊥ (ABC) }$
$\text{ Mà AO ∈ (ABC) => SO ⊥ AO; => Tam giác SOA vuông tại O}$
$\text{ Kẻ AH ⊥ BC; Do ABC đều cạnh a}$
`=> AH = (asqrt(3))/2` và `AO = 2/3 AH`
`=> AO = 2/3 . (asqrt(3))/2 = (asqrt(3))/3`
$\text{ Xét tam giác SOA vuông tại O theo định lý Pitago ta có:}$
`SO^2 + AO^2 = SA^2 `
`=> SO = sqrt(SA^2 - AO^2)= sqrt((asqrt(3))^2 - ((asqrt(3))/3)^2)`
`= sqrt(3a^2 - (3a^2)/9)= sqrt((8a^2)/3)=(asqrt(8))/(sqrt(3))`
$\text{ Ta có:}$ `(OH)/(AH) = 1/3`
`=> (d(O; SBC))/(d(A; SBC))=1/3`
`=> d(A; SBC) = 3.d(O; SBC)`
$\text{ +) Kẻ OK ⊥ SH (1)}$
$\text{ Do SO ⊥ (ABC); Mà BC ∈ (ABC); => SO ⊥ BC (2)}$
$\text{ Mà OH ⊥ BC (3)}$
$\text{ Từ (2) và (3) => BC ⊥ (SAH); Mà OK ∈ (SAH);}$
$\text{ => BC ⊥ OK (4)}$
$\text{ Từ (1) và (4) => OK ⊥ (SBC)}$
$\text{ => d(O; SBC) = OK}$
$\text{ Ta có}$ `OH = (AH)/3= (asqrt(3))/2 : 3 = (asqrt(3))/6`
$\text{ Xét tam giác SOH ta có:}$
`1/(OK^2)=1/(SO^2)+1/(OH^2)=1/((asqrt(8))/(sqrt(3)))^2+1/((asqrt(3))/6)^2`
`=1/((8a^2)/(3))+1/((3a^2)/(36))=3/(8a^2)+(36)/(3a^2)=3/(8a^2)+(96)/(8a^2)=(99)/(8a^2)`
`=> OK= sqrt(1 : (99)/(8a^2))=(asqrt(8))/sqrt(99)`
`=>d(O; SBC) = (asqrt(8))/sqrt(99) `
`=> d(A; SBC) = 3.d(O; SBC) =3.(asqrt(8))/sqrt(99)=(asqrt(8))/sqrt(11)`
