Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(O\) là giao điểm của ba đường trung tuyến của \(\Delta ABC\). Sử dụng tính chất của hình chóp đều, tam giác đều và định lý Py-ta-go.Giải chi tiết: Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(O\) là giao điểm của ba đường trung tuyến của \(\Delta ABC\). \( \Rightarrow SO\) là đường cao của hình chóp \(S.ABC\) Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\)\( \Rightarrow \)\(AM = MC = \dfrac{{AC}}{2}\)\( = \dfrac{{12}}{2} = 6\left( {cm} \right)\). Xét \(\Delta ABC\) đều có : \(BM\) là đường trung tuyến (\(M\) là trung điểm của \(AC\)) \( \Rightarrow BM\) đồng thời là đường cao ứng với cạnh \(AC\) (tính chất các đường trong tam giác đều) \( \Rightarrow \) \(\angle AMB = {90^0}\) Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\left( {\angle AMB = {{90}^0}} \right)\) có: \(B{M^2} = A{B^2} - A{M^2}\) (định lý Py-ta-go ta) \( \Rightarrow B{M^2} = {12^2} - {6^2} = 108\) \( \Rightarrow BM = 6\sqrt 3 \left( {cm} \right)\) Xét \(\Delta ABC\) đều có : \(O\) là giao điểm của ba đường trung tuyến\( \Rightarrow O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow OB = \dfrac{2}{3} \cdot BM\)\( = \dfrac{2}{3} \cdot 6\sqrt 3 = 4\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\) Vì \(SO\) là đường cao của hình chóp \(S.ABC\)\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow SO \bot BM \Rightarrow \angle SOB = {90^0}\) Xét \(\Delta SBO\,\,\) vuông tại \(O\left( {\angle SOB = {{90}^0}} \right)\) có: \(S{O^2} = S{B^2} - O{B^2}\) (định lý Py-ta-go) \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} \)\( = \sqrt {{8^2} - {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 4\,\,\left( {cm} \right)\) Vậy độ dài chiều cao của hình chóp là \(4\,\,\left( {cm} \right)\) Chọn A.
