a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có: \(A{B^2} = AH.AC\).
Ta có \(AH = 2AE;\,\,AC = BD\) (ABCD là hình chữ nhật)
\( \Rightarrow A{B^2} = 2AE.BD\).
b) Xét tam giác ABH có : EF là đường TB của tam giác ABH
=> EF // AB và EF = AB/2
=> EF // CK và EF = CG
=> EFCG là hình bình hành (dhnb)
c) Xét tam giác ABH và tam giác BCH có:
Góc AHB = góc BHC = 90 độ
Góc BAH = góc CBH (cùng phụ với góc ABH)
=> Tam giác AHB đồng dạng tam giác BHC (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{BH}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{2AE}} = \frac{{BC}}{{2BF}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{BF}}\)
Xét tam giác ABE và tam giác BCF có:
\(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{BF}}\)
Góc BAE = góc CBF (cmt)
=> Tam giác ABE đồng dạng tam giác BCF (c.g.c)
=> Góc ABE = góc BCF
Mà góc ABE = góc BEF (slt)
=> góc BEF = góc BCF
Ta có góc BEC = góc BEF + góc FEC
= góc BCF + góc FCD = góc BCD = 90 độ
Vậy góc BEC = 90 độ
d) Ta có
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{8^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} = \frac{{25}}{{576}}\\ \Rightarrow BH = \frac{{24}}{5}\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \frac{{32}}{5}\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)
Ta có \({S_{EAB}} = \frac{1}{2}{S_{HAB}} = \frac{1}{2}AH.HB = \frac{1}{2}.\frac{{32}}{5}.\frac{{24}}{5} = \frac{{384}}{{25}}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Kẻ EK // AD
Ta có:
\(\begin{array}{l}AE = \frac{1}{2}AH = \frac{{16}}{5}\,\,\left( {cm} \right);\,\,AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 10\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow EC = AC - AE = \frac{{34}}{5}\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)
Áp dụng định lí ta-let ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{EK}}{{AD}} = \frac{{EC}}{{AC}} \Rightarrow EK = \frac{{AD.EC}}{{AC}} = \frac{{6.\frac{{34}}{5}}}{{10}} = \frac{{102}}{{25}}\,\,\left( {cm} \right)\\\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DK}}{{DC}} \Rightarrow DK = \frac{{AE.DC}}{{AC}} = \frac{{\frac{{16}}{5}.8}}{{10}} = \frac{{64}}{{25}}\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)
\(GD = \frac{1}{2}CD = 4\,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow GK = GD - DK = \frac{{36}}{{25}}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta EKG}} = \frac{1}{2}EK.KG = \frac{1}{2}.\frac{{102}}{{25}}.\frac{{36}}{{25}} = \frac{{1836}}{{625}}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\\{S_{ADKE}} = \frac{1}{2}\left( {AD + EK} \right).DK = \frac{1}{2}\left( {6 + \frac{{102}}{{25}}} \right).\frac{{64}}{{25}} = \frac{{8064}}{{625}}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\\ \Rightarrow {S_{AEGD}} = {S_{\Delta EKG}} + {S_{ADKE}} = \frac{{396}}{{25}}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\end{array}\)
Vậy \({S_{EBCG}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABE}} - {S_{AEGD}} = 48 - \frac{{384}}{{25}} - \frac{{396}}{{25}} = \frac{{84}}{5}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
