Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

+ Tìm tọa độ của \(A,\,\,C,\,\,I\).+ Viết phương trình đường thẳng \(AD\), từ đó tìm tọa độ của điểm \(D\).+ Viết phương trình đường thẳng \(BD\) qua \(D\) và nhận \({\overrightarrow n _{ID}}\) là vtpt.Giải chi tiết:Gọi \(I\) là tâm của hình chữ nhật \(ABCD\).\( \Rightarrow \)\(I\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).Tọa độ của điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}5x + 2y + 2 = 0\\3x + 7y + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;\,\, - 1} \right)\)Tọa độ của điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}5x + 2y - 27 = 0\\3x + 7y + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {7;\,\, - 4} \right)\)Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(I\left( {\dfrac{7}{2};\,\, - \dfrac{5}{2}} \right)\).Phương trình đường thẳng \(AB:\,\,5x + 2y + 2 = 0 \Rightarrow {\vec n_{AB}} = \left( {5;\,\,2} \right)\)Phương trình đường thẳng \(AD\) đi qua \(A\left( {0;\,\, - 1} \right)\) nhận \({\vec u_{AB}} = \left( {2;\,\, - 5} \right)\) là VTPT:\(2x - 5\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 5y - 5 = 0\)Vì \(D = AD \cap CD\) nên tọa độ của \(D\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y - 5 = 0\\5x + 2y - 27 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {5;\,\,1} \right)\)+) \(I\left( {\dfrac{7}{2};\,\, - \dfrac{5}{2}} \right),\,\,D\left( {5;\,\,1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {ID}  = \left( {\dfrac{3}{2};\,\,\dfrac{7}{2}} \right)\)Phương trình đường thẳng \(BD\) qua \(D\left( {5;\,\,1} \right)\) nhận \({\vec n_{ID}} = \left( {\dfrac{7}{2};\,\, - \dfrac{3}{2}} \right)\) là VTPT là:\(\dfrac{7}{2}\left( {x - 5} \right) - \dfrac{3}{2}\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 7x - 3y - 32 = 0\)Vậy \(BD:7x - 3y - 32 = 0\)Chọn A