a) Xét $ΔBMC$ có:
$CI\perp BM\quad (gt)$
$BK\perp MC\quad (BK\perp AC: \,\,gt)$
$BK\cap CI = \left\{E\right\}$
$\Rightarrow E$ là trực tâm $ΔBMC$
$\Rightarrow ME\perp BC$
mà $AB\perp BC;\, NC\perp BC \quad (CD\perp BC)$
nên $ME//AB//NC \quad (\perp BC)$
Xét $ΔAKB$ có:
$AM = MK = \dfrac{1}{2}AK \quad (gt)$
$ME//AB \quad (cmt)$
$\Rightarrow BE = EK = \dfrac{1}{2}KB$
hay $E$ là trung điểm $KB$
b) Xét $ΔABK$ có:
$AM = MK = \dfrac{1}{2}AK \quad (gt)$
$BE = EK = \dfrac{1}{2}KB \quad (cmt)$
$\Rightarrow ME$ là đường trung bình
$\Rightarrow ME = \dfrac{1}{2}AB$
Ta lại có:
$CN = ND = \dfrac{1}{2}CD \quad (gt)$
$AB = CD \quad (ABCD$ là hình chữ nhật$)$
nên $ME = CN$
mà $ME// CN \quad$ (câu a)
Do đó $MNCE$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)
c) Ta có:
$MNCE$ là hình bình hành (câu b)
$\Rightarrow \widehat{NME} = \widehat{NCE}$
mà $\widehat{NCE} = \widehat{MEI}$ (đồng vị)
nên $\widehat{NME} = \widehat{MEI}$
Ta lại có:
$\widehat{MEI} + \widehat{EMI} = 90^o\quad (CI\perp BM)$
$\Rightarrow \widehat{NME} + \widehat{EMI} = 90^o = \widehat{NMI} = \widehat{NMB}$
Do đó $BM\perp MN$
d) Ta có:
$S_{ABC} = S_{ADC} = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}$
$\Rightarrow S_{ABCD} = 2S_{ABC} = AC.BK = 10\cdot 4 = 40\, cm^2$
