`a)` Xét $∆ADC$ và $∆AED$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{ADC}=\hat{AED}=90°`
`=>∆ADC∽∆AED` (g-g)
`=>{AD}/{AE}={AC}/{AD}`
`=>AE.AC=AD^2` $(1)$
$\\$
Xét $∆ADC$ và $∆DEC$ có:
`\qquad \hat{C}` chung
`\qquad \hat{ADC}=\hat{DEC}=90°`
`=>∆ADC∽∆DEC` (g-g)
`=>{DC}/{EC}={AC}/{DC}`
`=>EC.AC=DC^2` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>{AE.AC}/{EC.AC}={AD^2}/{DC^2}` $(3)$
Vì `ABCD` là hình chữ nhật
`=>AD=BC;DC=BA`
`(3)=>{EA}/{EC}=({BC}/{BA})^2`
$\\$
`b)` Gọi $F$ là trung điểm $DE$
Xét $∆ADE$ có $N;F$ lần lượt là trung điểm $AE;DE$
`=>NF` là đường trung bình $∆ADE$
`=>NF`//$AD$; `NF=1/ 2 AD=1/ 2 BC`
Mà $AD\perp DC$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật)
`=>NF`$\perp DC$
$\\$
Xét $∆NDC$ có:
$\quad NF\perp DC$
$\quad DE\perp NC$
$\quad NF$ cắt $DE$ tại $F$
`=>F` là trực tâm $∆NDC$
`=>CF`$\perp ND$ $(4)$
$\\$
Ta có: `NF=1/ 2 AD=1/ 2 BC` (c/m trên)
`\qquad MC=1/ 2 BC` (do $M$ là trung điểm $BC$)
`=>NF=MC`
Mà $NF$//$AD$//$MC$
`=>FNMC` là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
`=>MN`//$CF$ $(5)$
$\\$
Từ `(4);(5)=>MN`$\perp ND$
`=>∆MND` vuông tại $N$
`=>MN^2+ND^2=MD^2` (định lý Pytago)
Ta lại có: $∆MCD$ vuông tại $C$
`=>MC^2+CD^2=MD^2` (định lý Pytago)
`=>MN^2+ND^2=MC^2+CD^2`
______
(Câu a nếu đã được dùng hệ thức lượng thì áp dụng luôn không phải chứng minh đồng dạng)
