Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác \(AHCK\) ta có: \(\widehat {AHK} = \widehat {ACK} = {90^0}\)
Mà hai đỉnh \(H,\;C\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(AK\) dưới góc \({90^0}.\)
\( \Rightarrow AHCK\)  là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
b) Chứng minh AD.AN = AB.AM.
Ta có: \(AM//CD \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {DCN}\) (hai góc đồng vị)
\(\widehat {DCN}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(CD.\)
\(\widehat {ADB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB.\)
Mà cung \(AB = \) cung \(CD\) do \(ABCD\) là hình chữ nhật.
\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {AMN}\left( { = \widehat {DCN}} \right).\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ANM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {A\;\;}\;\;chung\\\widehat {ADB} = \widehat {AMN}\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta ANM\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{AD}}{{AM}} \Rightarrow AB.AM = AD.AN\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
c) Gọi E  là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
Giả sử \(AE\) cắt BD tại \(K.\)
Ta có \(E\) là trung điểm của \(MN\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow AE = ME = EN\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
\( \Rightarrow \widehat {EAN} = \widehat {ENA} \Rightarrow \widehat {AEM} = \widehat {EAN} + \widehat {ANE} = 2\widehat {ENA}\) (góc ngoài của tam giác).
Vì \(\Delta ABD \sim \Delta ANM\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ANC}\) (hai góc tương ứng).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc so le trong).
\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {ANC}\left( { = \widehat {ABD}} \right) \Rightarrow \widehat {KEC} = 2\widehat {ANE} = 2\widehat {BDC} = 2\widehat {ODC}.\;\;\;\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta OCD\) cân tại \(O\) ta có: \(\widehat {DOC} + \widehat {OCD} + \widehat {ODC} = {180^0} \Leftrightarrow \widehat {DOC} + 2.\widehat {ODC} = {180^0}.\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {DOC} + \widehat {KEC} = {180^0}.\)
Xét tứ giác \(OHEC\) ta có: \(\widehat {DOC} + \widehat {KEC} = {180^0}\;\;\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow OKEC\) là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối diện có tổng bằng \({180^0}\)).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {OKE} + \widehat {OCE} = {180^0} \Leftrightarrow \widehat {OHE} = {180^0} - {90^0} = {90^0}\\ \Rightarrow AK \bot BD.\end{array}\)
Mà \(AH \bot BD\;\;\;\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow A,\;H,\;E\) thẳng hàng.
d) Cho AB = 6cm, AD = 8cm. Tính độ dài đoạn MN.
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:\(D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} = {6^2} + {8^2} = {10^2} \Rightarrow BD = 10cm.\)
Vì \(\Delta ABD \sim \Delta ANM\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{BD}}{{MN}} = \frac{{AD}}{{AM}}\) \( \Leftrightarrow \frac{6}{{AN}} = \frac{8}{{AM}} = \frac{{10}}{{MN}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM = \frac{{8MN}}{{10}} = \frac{4}{5}MN\\AN = \frac{6}{{10}}MN = \frac{3}{5}MN\end{array} \right..\)
Xét tam giác \(\Delta DBC\) và \(\Delta CMB\) ta có:
\(\widehat {DCB} = \widehat {CBM} = {90^0}\)
\(\widehat {BDC} = \widehat {BCM}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta DCB \sim CBM\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{6}{8} = \frac{8}{{BM}} \Leftrightarrow BM = \frac{{32}}{3}\;cm.\\ \Rightarrow AM = AB + BM = 6 + \frac{{32}}{3} = \frac{{50}}{3}\;cm.\\ \Rightarrow MN = \frac{5}{4}AM = \frac{5}{4}.\frac{{50}}{3} = \frac{{125}}{6}cm.\end{array}\)
Vậy \(MN = \frac{{125}}{6}cm.\)