a) Gọi $AC \cap BD = \left\{O\right\}$
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD$
Xét $ΔBDF$ có:
$OB = OD \quad (cmt)$
$BE = EF \quad (gt)$
$\Rightarrow OE$ là đường trung bình
$\Rightarrow OE//DF$
hay $AC//DF$
Dễ dàng chứng minh được $DMFN$ là hình chữ nhật $(\widehat{D} = \widehat{M} = \widehat{N} =90^o)$
Gọi $AF\cap MN = \left\{I\right\}$
$\Rightarrow ID = IM = IF = IN$
Ta được:
$ΔIDM$ cân tại $I$
$\Rightarrow \widehat{DIM} = 180^o - 2\widehat{IDM}$
Ta lại có:
$ΔOAD$ cân tại $O\quad (OA = OD)$
$\Rightarrow \widehat{AOD} = 180^o - 2\widehat{OAD}$
mà $\widehat{OAD} = \widehat{IDM}$ (đồng vị do $AC//DF$)
nên $\widehat{DIM} = \widehat{AOD}$
Mặt khác:
$\widehat{AOD} = \widehat{ODF} = \widehat{ODI}$ (so le trong)
Do đó $\widehat{DIM} = \widehat{ODI}$
$\Rightarrow OD//IM$
$\Rightarrow MN//BD$
b) Xét $ΔBDF$ có:
$BE = EF \quad (gt)$
$ID = IF \quad (cmt)$
$\Rightarrow IE$ là đường trung bình
$\Rightarrow IE//BD$
Ta lại có: $I\in MN$
$MN//BD\quad (cmt)$
$\Rightarrow E,M,N$ thẳng hàng
