Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và \(\widehat{BAC}={{120}^{0}}\), cạnh bên \(BB'=a\), gọi I là trung điểm của CC’. Côsin góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (AB’I) bằng:A. \(\frac{\sqrt{20}}{10}\). B.\(\sqrt{3

andyndd1

2 năm trước

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và \(\widehat{BAC}={{120}^{0}}\), cạnh bên \(BB'=a\), gọi I là trung điểm của CC’. Côsin góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (AB’I) bằng:
A. \(\frac{\sqrt{20}}{10}\).
B.\(\sqrt{30}\).
C. \(\frac{\sqrt{30}}{10}\).
D. \(\frac{\sqrt{30}}{5}\).

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 20 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nguyenthicamtien18022004

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:
Cách 1:
Gọi O là trung điểm của BC.
Tam giác ABC là tam giác cân, AB = AC = a và \(\widehat{BAC}={{120}^{0}}\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} OA=AC.\sin {{30}^{0}}=\frac{a}{2} \\ OC=AC.\cos {{30}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ \end{align} \right.\)
Ta gắn hệ trục tọa độ như hình bên:

Trong đó,\(O(0;0;0),\,\,A\left( 0;\frac{a}{2};0 \right),\,\,B'\left( \frac{a\sqrt{3}}{2};0;a \right),\,\,\,I\left( -\frac{a\sqrt{3}}{2};0;\frac{a}{2} \right)\)
Mặt phẳng (ABC) trùng với mặt phẳng (Oxy) và có VTPT là\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 0;0;1 \right)\).
\(\overrightarrow{IB'}=\left( a\sqrt{3};0;\frac{a}{2} \right);\,\overrightarrow{IA}=\left( \frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};-\frac{a}{2} \right)\)
Mặt phẳng (IB’A) có 1 VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \left( 2\sqrt{3};0;1 \right);\left( \sqrt{3};1;-1 \right) \right]=\left( 1;3\sqrt{3};2\sqrt{3} \right)\).
Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (IB’A) :
\(\cos \left( \widehat{(ABC);(AB'I)} \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}}} \right) \right|=\left| \frac{0.(-1)+0.3\sqrt{3}+1.2\sqrt{3}}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( 3\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}} \right|=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{40}}=\frac{\sqrt{30}}{10}\)
Chọn: C
Cách 2:

Trong \(\left( ACC'A' \right)\) kéo dàu \(AI\) cắt \(A'C'\) tại D.
Trong \(\left( A'B'C' \right)\) kẻ \(A'H\bot B'D\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A'H \bot B'D\\AA' \bot B'D\end{array} \right. \Rightarrow B'D \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow AH \bot B'D\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB'I} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'D\\\left( {A'B'C} \right) \supset A'H \bot B'D\\\left( {AB'I} \right) \supset AH \bot B'D\end{array} \right.\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AB'I} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'H;AH} \right)} = \widehat {AHA'}\end{array}\)
Ta dễ dàng chứng minh được C’ là trung điểm của \(A'D\)
\(\begin{align} \Rightarrow {{S}_{B'A'D}}=\frac{1}{2}d\left( B';A'D \right).A'D=\frac{1}{2}.d\left( B';A'C' \right).2A'C'=2{{S}_{A'B'C'}} \\ \Rightarrow {{S}_{B'A'D}}=2.\frac{1}{2}.a.a\sin {{120}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2} \\ \end{align}\)
Xét tam giác \(A'B'D\) có \(B'D=\sqrt{A'B{{'}^{2}}+A'{{D}^{2}}-2A'B'.A'D.\cos {{120}^{0}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{7}\)
\(\Rightarrow A'H=\frac{2{{S}_{A'B'D}}}{B'D}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{a\sqrt{7}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}\)
Xét tam giác vuông \(AA'H\) có: \(AH=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A'{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{3}{7}{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{70}}{7}\)
\(\Rightarrow \cos \widehat{AHA'}=\frac{A'H}{AH}=\frac{\frac{a\sqrt{21}}{7}}{\frac{a\sqrt{70}}{7}}=\frac{\sqrt{30}}{10}\)
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(f(1)=\frac{3}{5},\,\,\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'(x) \right]}^{2}}dx=\frac{4}{9}}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f(x)dx=\frac{37}{180}}\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f(x)-1 \right]dx=}\) ?
A. \(\frac{2}{30}\).
B.\(-\frac{2}{30}\).
C. \(-\frac{1}{10}\).
D. \(\frac{1}{10}\).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(a;0;0),\,\,B(0;b;0),\,\,C(0;0;c)\) với a, b, c là những số thực dương thay đổi sao cho \({{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+16{{c}^{2}}=49\). Tính tổng \(F={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\) sao cho khoảng cách từ O đến (ABC) là lớn nhất.
A. \(F=\frac{51}{5}\).
B.\(F=\frac{51}{4}\).
C. \(F=\frac{49}{5}\).
D. \(\frac{49}{4}\).

Thấu kính có độ tụ D = -5dp. Đó là:
A.Thấu kính phân kì có tiêu cự f = -20cm
B.Thấu kính hội tụ có tiêu cự f = + 5cm
C.Thấu kinh hội tụ có tiêu cự f = + 20 cm
D.Thấu kính phân kì có tiêu cự f = - 5 cm

Một vật dao động điều hòa với biên độ 6cm, tại li độ -2cm thì tỉ số giữa thế năng và động năng của vật có giá trị nào sau đây?
A.2/6
B.1/8.
C.3.
D.8/9.

Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m = 0,1kg và lò xo có độ cứng k = 40N/m treo thẳng đứng. Cho con lắc dao động với biên độ 3cm. Lấy g = 10 m/s2. Lực cực đại mà lò xo tác dụng vào điểm treo là:
A.0,2N.
B.0,1N
C.2,2N
D. 1N

Trong một dao động điều hòa có phương trình: \(x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\), rad/s là đơn vị của đại lượng nào?
A.Chu kì dao động T.
B.Tần số góc ω.
C.Biên độ A
D.Pha dao động (ωt+φ)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 1, BC = 2, AA’ = 3. Mặt phẳng (P) thay đổi và luôn đi qua C’, mặt phẳng (P) cắt các tia AB, AD, AA’ lần lượt tại E, F, G (khác A). Tính tổng \(T=AE+AF+AG\) sao cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất.
A.15
B.16
C.17
D.18

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(4y={{x}^{2}}\) và \(y=x\). Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục hoành một vòng bằng
A.\(\frac{128}{30}\pi \).
B. \(\frac{128}{15}\pi \).
C.\(\frac{32}{15}\pi \).
D. \(\frac{129}{30}\pi \).

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-9{{m}^{2}}x\) nghịch biến trên khoảng (0; 1).
A. \(m\ge \frac{1}{3}\) hoặc \(m\le -1\).
B.\(m>\frac{1}{3}\).
C. \(m<-1\).
D. \(-1<m<\frac{1}{3}\).

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC bằng
A. \(a\).
B. \(\sqrt{2}a\).
C. \(\frac{\sqrt{2}a}{2}\).
D. \(\frac{\sqrt{3}a}{2}\).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến