Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Xác định góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\): góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Tính độ dài đường cao \(AA'\) và diện tích đáy \({S_{\Delta ABC}}\).
- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức \(V = Sh\).
Giải chi tiết:
Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB\) là hình chiếu vuông góc của \(A'B\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;AB} \right) = \angle A'BA = {30^0}\)
Xét tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(B\), \(BC = a\), \(\angle ACB = {60^0}\) có: \(AB = BC.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\)
Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \supset AB \Rightarrow AA' \bot AB \Rightarrow \Delta ABA'\) vuông tại \(A\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AA' = AB.\tan \angle A'BA\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a\sqrt 3 .\tan {30^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = a\end{array}\)
Có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}a\sqrt 3 .a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)
Chọn A.
