Lăng trụ đều, các cạnh bằng nhau nên mặt bên là các hình vuông vuông góc với hai đáy, đáy là hai tam giác đều.
$\Delta ABA_1$ và $\Delta ACA_1$ có:
$AB=AC=a$
$A_1A$ chung
$\widehat{BAA_1}=\widehat{CAA_1}=90^o$
$\to\Delta ABA_1=\Delta ACA_1$ (c.g.c)
$\to A_1B=A_1C$
$\to \Delta A_1BC$ cân tại $A_1$
$\to A_1B=A_1C=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2$
Kẻ $A_1H\bot BC$
$\to BH=CH=\dfrac{a}{2}$
$\Delta A_1BH$ vuông tại $H$ có:
$A_1H=\sqrt{A_1B^2-BH^2}=\dfrac{a\sqrt7}{2}$
$\to S_{A_1BC}=\dfrac{1}{2}A_1H.BC=\dfrac{a^2\sqrt7}{4}$
$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$
Vậy $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1BC}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
