Cho hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh cùng bằng \(a\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó. A.\(\dfrac{{7\pi {a^2}}}{2}\) B.\(\dfrac{{7\pi {a^2}}}{3}\) C.\(\dfrac{{7\pi {a^2}}}{6}\) D.\(7\pi {a^2}\)
Đáp án đúng: B Giải chi tiết: Gọi hình lăng trụ đã cho là \(ABC.A'B'C'\). Hình lăng trụ đã cho là hình lăng trụ tam giác đều nên tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là trung điểm đoạn nối tâm 2 đáy. Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm của hai đáy \(ABC\) và \(A'B'C'\). Gọi \(I\) là trung điểm \(OO'\) suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) Ta có: \(R = IC = \sqrt {I{O^2} + O{C^2}} \) \(\left\{ \begin{array}{l}IO = \dfrac{1}{2}OO' = \dfrac{1}{2}AA' = \dfrac{a}{2}\OA = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Rightarrow R = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}.\) Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó là \(S = 4\pi {R^2} = \dfrac{{7\pi {a^2}}}{3}.\) Chọn B.