$ABCD. A _ 1B_1C_ 1D _1$ là hình lập phương
`=>`$AA_1=CC_1$ và $AA_1$//$CC_1$
`=>`$AA_1C_1C$ là hình bình hành
`=>AC=A_1C_1` và $AC$//$A_1C_1$
`=>OA`//$O_1C_1$ $(1)$
$\\$
Hình vuông $ABCD$ có $O$ là giao điểm $AC$ và $BD$
`=>O` là trung điểm $AC$
`=>OA=1/ 2 AC`
Tương tự ta có: `O_1C_1=1/ 2 A_1C_1`
`=>OA=O_1C_1` $(2)$
Từ `(1);(2)=>`$OAO_1C_1$ là hình bình hành
`=>AO_1`//$OC_1$
`=>AM`//$ON$; $MO_1$//$NC_1$
$\\$
Xét $∆ACM$ có $AM$//$ON$
`=>{NC}/{MN}={OC}/{OA}` (định lý Talet)
Mà `OC=OA` (do $ O$ là trung điểm $AC$)
`=>{OC}/{OA}=1`
`=>{NC}/{MN}=1`
`=>MN=NC` $(3)$
$\\$
Xét $∆A_1C_1N$ có $MO_1$//$NC_ 1$
`=>{A_1M}/{MN}={A_1O_1}/{O_1C_1}` (định lý Talet)
Mà `O_1C_1=A_1O_1` (do $ O_1$ là trung điểm $A_1C_1$)
`=>{A_1O_1}/{O 1C_1}=1`
`=>{A_1M}/{MN}=1`
`=>A_1M=MN` $(4)$
$\\$
Từ `(3);(4)=>A _1M=MN=NC`
