Hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh \(a\). Tính thể tích khối trụ nội tiếp trong hình lập phương đó.
A.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{4}\)   
B.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{2}\)    
C. \(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{8}\)   
D. \(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{16}\)

Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn \(a + b \le 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{25}}{{ab}} + ab\)
A.\({S_{\min }} = \frac{{33}}{8}\)
B.\({S_{\min }} = \frac{{83}}{8}\)
C.\({S_{\min }} = \frac{{83}}{3}\)
D.\({S_{\min }} = \frac{{83}}{5}\)

a) \(A = \sqrt {45} + \sqrt {20} - 2\sqrt 5 .\)
b) \(B = \frac{{a + 2\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} - \frac{{a - 4}}{{\sqrt a - 2}}\) (với \(a \ge 0,\;\;a \ne 4\)).
A.\(\begin{array}{l}A = 3\sqrt 5 \\B = - 2\end{array}\)
B.\(\begin{array}{l}A = 3\sqrt 5 \\B = - 4\end{array}\)
C.\(\begin{array}{l}A = 5\sqrt 5 \\B = - 2\end{array}\)
D.\(\begin{array}{l}A = 3\sqrt 3 \\B = - 2\end{array}\)

Cho hình chóp \(S.ABC\). \(\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right).\,\) \(DSAB\) đều, \(DABC\) đều, \(AB = a\). Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).
A.\(\dfrac{a\sqrt{15}}{4}\)
B.\(\dfrac{a\sqrt{15}}{5}\)
C.\(\dfrac{a\sqrt{15}}{6}\)
D.\(\dfrac{a\sqrt{15}}{7}\)

Tứ diện gần đều \(ABCD\), \(AB = CD = 4, \,AC = BD = 5,\, AD = BC = 6\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
A.\(\dfrac{\sqrt{77}}{4}\)
B.\(\dfrac{\sqrt{77}}{\sqrt{2}}\)
C.\(\dfrac{\sqrt{77}}{2}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{77}}{2\sqrt{2}}\)

Cho phương trình \({x^2} + 4x + m + 1 = 0\,\,\,(1)\) (với m là tham số).
a) Giải phương trình (1) với m = 2.
b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.
c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{{{x_1} - 1}}{{2{x_2}}} - \frac{{{x_2} - 1}}{{2{x_1}}} = - 3\).
A.a)\({x_1} =  - 1,\,\,{x_2} =  - 3\).
b)\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\).
c)\(m =  - 2\) hoặc \(m = \frac{{11}}{9}\).
B.a)\({x_1} =  - 1,\,\,{x_2} =  - 3\).
b)\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\).
c)\(m =  - 6\) hoặc \(m = \frac{{11}}{13}\).
C.a)\({x_1} =  - 1,\,\,{x_2} =  - 3\).
b)\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\).
c)\(m =  - 9\) hoặc \(m = \frac{{11}}{9}\).
D.a)\({x_1} =  - 1,\,\,{x_2} =  - 3\).
b)\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\).
c)\(m =  - 6\) hoặc \(m = \frac{{11}}{9}\).

Có một cái cốc hình nón đường kính đáy bằng \(10\), đường sinh bằng \(8\). Người ta thả một viên bi hình cầu vào cốc sao cho không phần nào của viên bi cao hơn miệng cốc. Hỏi bán kính \(R\) lớn nhất của viên bi là bao nhiêu?
A.\(\dfrac{5\sqrt{39}}{13}\)      
B.\(\dfrac{\sqrt{39}}{13}\)        
C.\(\dfrac{5}{13}\)
D.\(\dfrac{3\sqrt{39}}{13}\)

Chóp đều \(S.ABC\), có \(AB = a\). Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}\). Tính thể tích khối nón nội tiếp trong chóp \(S.ABC\).
A.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{36}\)  
B.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{32}\) 
C.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{72}\)
D.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{64}\)

Cho hình nón có đường cao bằng \(8\) nội tiếp trong cầu có bán kính \(R\) bằng \(5\). Tính tỉ số thể tích giữa nón và cầu.
A.\(\dfrac{37}{125}\)
B.\(\dfrac{34}{125}\) 
C.\(\dfrac{33}{125}\)    
D.\(\dfrac{32}{125}\)

Khi lần lượt cho hỗn hợp từng kim loại dưới đây vào lượng dư nước thì khi phản ứng hoàn toàn, trường hợp nào thu được thể tích H2 (đktc) lớn nhất?
A.1 mol Na và 1 mol K
B.1 mol Na và 1 mol Ca
C.1 mol Na và 1 mol Al
D.1 mol Na và 1 mol Zn