Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D’ \) có cạnh bằng 2. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng chứa đường chéo AC’. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được. A. 4 B. \(4\sqrt{2}\) C. \(\sqrt{6}\) D. \(2\sqrt{6}\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết: Giả sử mặt phẳng chứa AC’ cắt hình lập phương theo thiết diện là tứ giác AEC’F. \(\left( E\in A'B';F\in CD \right)\) Ta có: \(\left\{ \begin{align}\left( AEC'F \right)\cap \left( ABCD \right)=AF \\\left( AEC'F \right)\cap \left( A'B'C'D' \right)=EC' \\\left( ABCD \right)//\left( A'B'C'D' \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow AF//EC’\) Tương tự ta chứng minh được AE // FC’ \(\Rightarrow AEC'F\) là hình bình hành \(\Rightarrow {{S}_{AEC'F}}=2{{S}_{AEC'}}\) Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho \(A'\left( 0;0;0 \right);B'\left( 2;0;0 \right);C'\left( 2;2;0 \right);D'\left( 0;2;0 \right);A\left( 0;0;2 \right),B\left( 2;0;2 \right)\), \(C\left( 2;2;2 \right);D\left( 0;2;2 \right)\) . Gọi \(E\left( x;0;0 \right)\,\,\left( 0\le x\le 2 \right)\) ta có: \(\overrightarrow{AC'}\left( 2;2;-2 \right);\overrightarrow{AE}=\left( x;0;-2 \right)\Rightarrow {{S}_{AEC'}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AC'};\overrightarrow{AE} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{8\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}\) Ta có \({{x}^{2}}-2x+4={{\left( x-1 \right)}^{2}}+3\ge 3\Rightarrow {{S}_{AEC'}}\ge \frac{1}{2}\sqrt{8.3}=\sqrt{6}\) Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\), khi đó \({{S}_{AEC'\,\,\min }}=\sqrt{6}\Rightarrow {{S}_{AEC'F\,\,\min }}=2\sqrt{6}\) Chọn D.