Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Mở rộng mặt phẳng \(\left( {B'MG} \right)\), chứng minh \(\left( {B'MG} \right) \equiv \left( {B'GN} \right)\) với \(N\) là trung điểm của \(AB\).
- Đổi \(d\left( {C;\left( {B'GN} \right)} \right)\) sang \(d\left( {B;\left( {B'GN} \right)} \right)\).
- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(BH \bot GN\), trong \(\left( {B'BH} \right)\) kẻ \(BK \bot B'N\). Chứng minh \(BK \bot \left( {B'GN} \right)\).
- Sử dụng tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.Giải chi tiết:
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\), ta có \(B'M//DN\) nên \(B',\,\,M,\,\,D,\,\,N\) đồng phẳng \( \Rightarrow \left( {B'MG} \right) \equiv \left( {B'GN} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {B'MG} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {B'GN} \right)} \right)\).
Gọi \(O = AC \cap BD\), ta có \(\dfrac{{AG}}{{AO}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{CG}} = \dfrac{1}{2}\).
Ta có \(CA \cap \left( {B'GN} \right) = G \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {B'GN} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {B'GN} \right)} \right)}} = \dfrac{{CG}}{{AG}} = 2\)
\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {B'GN} \right)} \right) = 2d\left( {A;\left( {B'GN} \right)} \right)\).
Lại có \(AB \cap \left( {B'GN} \right) = N \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {B'GN} \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( {B'GN} \right)} \right)}} = \dfrac{{AN}}{{BN}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {A;\left( {B'GN} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {B'GN} \right)} \right)\\ \Rightarrow d\left( {C;\left( {B'GN} \right)} \right) = 2d\left( {B;\left( {B'GN} \right)} \right)\end{array}\)
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(BH \bot GN\), trong \(\left( {B'BH} \right)\) kẻ \(BK \bot B'N\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}GN \bot BH\\GN \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow GN \bot \left( {BB'H} \right) \Rightarrow GN \bot BK\\\left\{ \begin{array}{l}BK \bot B'H\\BK \bot GN\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {B'GN} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {B'GN} \right)} \right) = BK\end{array}\)
Ta có \(\Delta BNH \sim \Delta DNA\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{AD}} = \dfrac{{BN}}{{DN}}\) \( \Rightarrow BH = \dfrac{{a.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(BB'H\) ta có: \(BK = \dfrac{{BB'.BH}}{{\sqrt {BB{'^2} + B{H^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Vậy \(d\left( {C;\left( {B'MG} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {B'GN} \right)} \right) = 2d\left( {B;\left( {B'GN} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Chọn B.