Cho hình lập phương $\displaystyle ABCD.A'B'C'D'$.$I$ là trung điểm BB’. Mặt phẳng$(DIC')$ chia khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng A. 1: 3 B. 7: 17 C. 4:14 D. 1: 2
Coi như khối lập phương có cạnh bằng 1. Để giải bài toán này, ta phải xác định đúng thiết diện cắt bởi mặt phẳng $(DIC')$. Lấy M là trung điểm của AB thì$\displaystyle IM$là đường trung bình$\Delta ABB'$ nên$IM//AB'//DC'$ Suy ra bốn điểm$I,M,C',D$ cùng thuộc mặt phẳng$(C'ID)$ Thiết diện cắt bởi mặt phẳng$(DIC')$ là tứ giác$C'DMI$ Phần có thể tích nhỏ hơn là khối đa diện$C'IBMDC$ Để thuận tiện tính toán ta chia khối trên thành 2 phần là tứ diện$IMBD$ và hình chóp$DIBCC'$. ${{V}_{{IMBD}}}=\frac{1}{3}.IB.{{S}_{{BDM}}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.1.\frac{1}{2}=\frac{1}{{24}}$ ${{V}_{{D.IBCC'}}}=\frac{1}{3}.DC.{{S}_{{IBCC'}}}=\frac{1}{3}DC.\frac{1}{2}(IB+CC').BC=\frac{1}{2}.1.\frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{2}+1} \right).1.\frac{1}{4}$ Suy ra thể tích khối có thể tích nhỏ hơn là${{V}_{n}}={{V}_{{IMBD}}}+{{V}_{{DIBCC'}}}=\frac{1}{{24}}+\frac{1}{4}+\frac{7}{{24}}$ Thể tích phần lớn hơn là${{V}_{l}}={{V}_{{ABCD.A'B'C'D'}}}-{{V}_{n}}=1-\frac{7}{{24}}=\frac{{17}}{{24}}$ Vậy tỉ lệ cần tìm là${{V}_{n}}:{{V}_{l}}=7:17$ Đáp án B