Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Gọi M là trung điểm của AB, gọi D là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
- Kẻ đường thẳng d vuông góc với (OAB). Gọi N là trung điểm của SO, qua N kẻ đường thẳng vuông góc với SO cắt d tại I, chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp SOAB.
- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp.
- Diện tích mặt cầu bán kính R là \(S = 4\pi {R^2}\).
Giải chi tiết:
Tam giác OAB có: \(AB = 2a\sqrt 3 ,\,\,\,OA = OB = 2a\).
Áp dụng định lí Cô-sin ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \angle AOB = \dfrac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2OA.OB}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4{a^2} + 4{a^2} - 12{a^2}}}{{2.4{a^2}}} = - \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \angle AOB = {120^0}\end{array}\)
.. Tam giác OAB cân tại O, \(\angle AOB = {120^0}\).
Gọi M là trung điểm của AB, D là điểm đối xứng với O qua M.
Tứ giác OADB có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và \(OA = OB\) nên \(OADB\) là hình thoi.
\( \Rightarrow DA = DB = OA = OB = 2a\).
Tam giác \(OAB\) cân tại \(O \Rightarrow OM \bot AB\) \( \Rightarrow OM = \sqrt {O{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {4{a^2} - 3{a^2}} = a \Rightarrow DO = 2a\).
\( \Rightarrow DA = DB = DO \Rightarrow D\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
Qua D dựng đường thẳng d vuông góc (OAB).
Gọi N là trung điểm của SO. Kẻ đường thẳng song song với \(OM\) cắt \(d\) tại \(I\).
Vì \(I \in IN \Rightarrow IS = IO\).
Vì \(I \in d \Rightarrow IO = IA = IB\).
\( \Rightarrow IO = IA = IB = IS \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.OAB\).
Ta có: \(DO = DA = OA = 2a,\,\,\,ON = \dfrac{{SO}}{2} = \dfrac{a}{2} = DI\)
\( \Rightarrow R = IO = \sqrt {O{D^2} + D{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}\).
Vậy diện tích mặt cầu đó là: \(4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}} \right)^2} = 17\pi {a^2}\).
Chọn B.
