a)
Xét $\Delta IMD $ và $\Delta IAB$, ta có:
$\widehat{ D_1} =\widehat{ B_1}$ (hai góc so le trong)
$\widehat{I_1} =\widehat{I_2}$ (hai góc đối đỉnh)
`=>` $\Delta IMD \sim\Delta IAB$ (g-g)
$\Rightarrow\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{DM}{BA}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) (1)
Xét $\Delta KMC$ và $\Delta KBA $, ta có:
$\widehat{ K_1} = \widehat{ K_2}$ (hai góc đối đỉnh)
$\widehat{C_1}=\widehat{ A_1}$ (hai góc so le trong)
`=>` $\Delta KMC \sim\Delta KBA$ (g-g)
$\Rightarrow\dfrac{KM}{KB}=\dfrac{MC}{BA}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) (2)
Từ (1), (2) và $DM= MC$ (do M là trung điểm của CD)
$\Rightarrow\dfrac{IM}{IA} =\dfrac{ KM }{ KB}$
Nên $IK // AB$ ( định lý Ta-lét đảo)
b) $IK//AB// CD$
$\Rightarrow EI// DM$, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét đối với $\Delta ADM$, ta có:
$\dfrac{AI }{ AM }= \dfrac{EI }{ DM}$ (3)
$ KF// MC$, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét đối với $\Delta BCM$, ta có:
$\dfrac{BK}{ BM} =\dfrac{ KF}{MC}$ (4)
$IK // MC$, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét đối với $\Delta ACM$, ta có:
$\dfrac{AI}{AM} = \dfrac{IK}{MC}$ (5)
$ IK // DM$, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét với $\Delta BDM$, ta có:
$\dfrac{BK}{BM} = \dfrac{IK}{DM}$ (6)
Từ (3) và (5) suy ra: $\dfrac{EI }{ DM}=\dfrac{IK}{MC}$
Từ (4) và (6) suy ra: $\dfrac{ KF}{MC}= \dfrac{IK}{DM}$
Từ 2 điều trên và $MC=DM\Rightarrow\dfrac{ EI}{DM }=\dfrac{ KF }{ MC} =\dfrac{IK }{ MC}$
$\Rightarrow EI=IK=KF$
