`a)`
Xét `\DeltaABD` có `MP////BD` $(gt):$
`=>{(MP)/(BD)=(AP)/(AD)=(AM)/(AB)` `(`Hệ quả định lí $Ta-let)$
`=>(AP)/(AD)=(AM)/(AB)`
Mà `(CN)/(CD)=(AM)/(AB)` $(gt)$
`=>(AP)/(AD)=(CN)/(CD)`
Xét `\DeltaDAC` có:
`{(AP)/(AD)=(CN)/(CD)(cmt)`
`=>PN////AC` `(`Định lý $Ta-let$ đảo`)`
`b)`
Gọi `O` là giao điểm của `2` đường chéo `AC` và `BD.`
Xét `\DeltaAOD` có `AD////BC` `(ABCD` là hình thang`)`
`=>{(OA)/(OC)=(OD)/(OB)` `(`Hệ quả định lí $Ta-let)$ `(***)`
`\underline( )`
Xét `\DeltaAOD` có `PH////OA` `(cmt):`
`=>{(PH)/(OA)=(HD)/(OD)` `(`Hệ quả định lí $Ta-let)$ `(1)`
Xét `\DeltaDOC` có `HN////OC` `(cm):`
`=>{(HN)/(OC)=(HD)/(OD)` `(`Hệ quả định lí $Ta-let)$ `(2)`
Từ `(1),(2)=>(PH)/(OA)=(HN)/(OC)(=(HD)/(OD))`
`<=>(PH)/(HN)=(OA)/(OC)` `(******)`
`\underline( )`
Xét `\DeltaAOD` có `PK////OD` $(gt):$
`=>{(PK)/(OD)=(AK)/(OA)` `(`Hệ quả định lí $Ta-let)$ `(3)`
Xét `\DeltaAOB` có `MK////BO` $(gt):$
`=>{(MK)/(BO)=(AK)/(OA)` `(`Hệ quả định lí $Ta-let)$ `(4)`
Từ `(3),(4)=>(PK)/(OD)=(MK)/(BO)(=(AK)/(OA))`
`<=>(PK)/(MK)=(OD)/(OB)` `(*********)`
`\underline( )`
Từ `(***),(******),(*********)=>(PH)/(HN)=(PK)/(MK)`
Xét `\DeltaPMN` có:
`{(PH)/(HN)=(PK)/(KM)(cmt)`
`=>KH////MN` `(`Định lý $Ta-let$ đảo`)`
`c)`
Xét tứ giác `MFHK` có:
`{(MF////HK(cmt)),(MK////FH(\text(gt))):}`
`=>MFHK` là hình bình hành.
`=>MF=KH` `(5)`
Xét tứ giác `ENHK` có:
`{(EN////HK(cmt)),(HN////KE(cmt)):}`
`=>ENHK` là hình bình hành.
`=>NE=KH` `(6)`
Từ `(5),(6)=>MF=NE(=KH)`
`=>MF+FE=NE+FE`
`<=>ME=NF` `(đpcm)`
