a) Xét $ΔABC$ có:
$AM = MB = \dfrac{1}{2}AB \quad (gt)$
$BN = NC = \dfrac{1}{2}BC \quad (gt)$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình
$\Rightarrow MN//AC;\, MN = \dfrac{1}{2}AC$
Tương tự với $ΔADC$ ta được:
$PQ//AC;\, PQ = \dfrac{1}{2}AC$
Do đó: $MN//PQ;\, MN = PQ$
$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành
b) Ta có:
$ABCD$ là hình thang cân
$AM = MB = \dfrac{1}{2}AB\quad (gt)$
$DP = PC = \dfrac{1}{2}CD \quad (gt)$
$\Rightarrow MP$ là đường trung trực chung của 2 đáy
$\Rightarrow MP\perp AB;\, MP\perp BC$
Ta lại có:
$NQ$ là đường trung bình của hình thang
$\Rightarrow NQ//AB//CD$
$\Rightarrow MP\perp NQ$
mà $MNPQ$ là hình bình hành
nên $MNPQ$ là hình thoi
$\Rightarrow MP$ là phân giác của $\widehat{QMN}$