Kẻ đường cao $AH$ của hình thang
Ta được:
$S_{ACD} =\dfrac12 ×CD × AH$
$S_{BCD} = \dfrac12 ×CD ×AH$
Vậy $S_{ACD} = S_{BCD}$
Ta có:
$S_{ABC} = \dfrac12 ×AB ×AH$
$S_{ACD} = \dfrac12 × CD × AH$
$\Rightarrow \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{\dfrac12×AB×AH}{\dfrac12×CD×AH} = \dfrac{AB}{CD}$
mà $CD = 4AB$
nên $\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{AB}{4AB} = \dfrac{1}{4}$
Từ $B$ kẻ đường cao $BM$ của $ΔABC$
Từ $D$ kẻ đường cao $DN$ của $ΔACD$
Ta có:
$S_{ABC} = \dfrac12 × BM × AC$
$S_{ACD} = \dfrac12 × DN × AC$
$\Rightarrow \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{\dfrac12×BM×AC}{\dfrac12×DN×CD} = \dfrac{BM}{DN}$
mà $\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{1}{4}$ (chứng minh trên)
nên $\dfrac{BM}{DN} = \dfrac{1}{4}$
Mặt khác ta có:
$S_{ABC} = S_{ABD} = \dfrac12 × AB × AH$
$S_{ABC} = S_{ABE} + S_{BEC}$
$S_{ABD} = S_{ABE} + S_{AED}$
nên $S_{BED} = S_{AED}$
$\Rightarrow \dfrac12 × BM ×EC = \dfrac12 × DN × EA$
$\Rightarrow BM × EC = DN × EA$
$\Rightarrow \dfrac{EA}{EC} = \dfrac{BM}{DN} = \dfrac{1}{4}$
Vậy $\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{1}{4}$
