$\text{Áp dụng định lý Pytago và ΔOAB vuông tại O ta được:}$
$AB^{2} = AO^{2} + OB^{2}$
⇒ $OB^{2} = AB^{2} - OA^{2} = (2\sqrt{13})^{2} - 6^{2} = 16$
⇒ $OB = 4 \, cm$
$\text{Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABD vuông tại A, đường cao AO, ta được:}$
$AO^{2} = OB.OD$
⇒ $OD = \dfrac{AO^{2}}{OB} = \dfrac{6^{2}}{4} = 9 \, cm$
$\text{Áp dụng định lý Pytago và ΔOAD vuông tại O ta được:}$
$AD^{2} = AO^{2} + OD^{2} = 6^{2} + 9^{2} = 117$
⇒ $AD = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$
$\text{Áp dụng hệ thức lượng trong ΔADC vuông tại D, đường cao DO, ta được:}$
$AD^{2} = AO.AC$
⇒ $AC = \dfrac{AD^{2}}{AO} = \dfrac{117}{6} = \dfrac{39}{2}\ cm$
Ta có: $S_{ABCD} = \dfrac{AC.DB}{2} = \dfrac{\dfrac{39}{2}.(9+4)}{2} = \dfrac{507}{4} \, cm^{2}$
