Cho hình thang cân ABCD; AB//CD; AB = 2; CD = 4. Khi quay hình thang quanh trục CD thu được một khối tròn xoay có thể tích bằng \(6\pi \). Diện tích hình thang ABCD bằng: A.\(\frac{9}{2}\) B.\(\frac{9}{4}\) C.\(6\) D. \(3\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết: Gọi AH và BK là hai đường cao của hình thang cân ABCD. Khi quay hình thang cân ABCD quanh trục CD tạo ra: +) Khối nón đỉnh C có đường cao CK và đáy có bán kính bằng BK có thể tích \({V_1}\). +) Khối nón đỉnh D có đường cao DH và đáy có bán kính bằng AH có thể tích \({V_2}\). +) Khối trụ có đường cao AB và bán kính đáy bằng AH có thể tích \({V_3}\). Dễ thấy ABCD là hình thang cân nên AH = BK và DH = CK = 1. Do đó \({V_1} = {V_2}\). Đặt AH = BK = x ta có: \({V_1} = {V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.DH = \frac{1}{3}\pi {x^2},\,\,{V_3} = \pi A{H^2}.AB = 2\pi {x^2}\) \({V_1} + {V_2} + {V_3} = 6\pi \Rightarrow 2.\frac{1}{3}\pi {x^2} + 2\pi {x^2} = 6\pi \Leftrightarrow \frac{8}{3}\pi {x^2} = 6\pi \Leftrightarrow {x^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow AH = \frac{3}{2}.\) Vậy diện tích hình thang cân ABCD bằng: \(\frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AH = \frac{1}{2}\left( {2 + 4} \right).\frac{3}{2} = \frac{9}{2}\) Chọn A.