Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). M và N là trung điểm của hai đường chéo BD và AC a. Chứng minh các tứ giác AMNB và DMNC là những hình thang cân. b. Chứng minh BM2 = AM2 + MN.AB A.#VALUE! B.#VALUE! C.#VALUE! D.#VALUE!
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:a. Gọi P là trung điểm của AD. Theo giả thiết thì N là trung điểm của AC. Vậy PN là đường trung bình của ∆ADC => PN // DC // AB (1). Tương tự ta có PM là đường trung bình của ∆ABD => PM // AB (2). Từ (1) và (2) suy ra P, M, N thẳng hàng, MN // AB và CD Tứ giác ABCD là hình thang cân (gt) => AC = BD => = => AN = BM. Xét tứ giác AMNB có MN // AB và AN = BM. Vậy tứ giác AMNB là hình thang cân. Xét ∆ADC và ∆BCD có: CD chung, AC = BD, AD = BC => ∆ADC = ∆BCD (c.c.c) => = . MNCD có MN // CD và = thì tứ giác MNCD là hình thang cân. b. * Kẻ MH ⊥ AB, NK ⊥ AB Xét ∆HAM và ∆KBN có = = 900, = , MA = NB (tính chất hình thang cân) Vậy ∆HAM = ∆KBN => AH = KB => HB - HA = HB - KB = HK = MN (MNHK là hình chữ nhật) * Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông HAM và HBM có: BM2 = BH2 + HM2 = BH2 + AM2 – AH2 = AM2 + (BH2 – AH2) = AM2 + (BH – AH)(BH + AH) = AM2 + MN.AB