Giải thích các bước giải:
a, Tứ giác ABHD có 3 góc vuông ($\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{H}$) nên là hình chữ nhật
Mà lại có AD = AB (giả thiết)
⇒ ABHD là hình vuông (đpcm)
b, ABHD là hình vuông ⇒ AB = AD = DH = BH = CD : 2
Mà CD = CH + DH = 2.AB
⇒ CH = DH = AB = CD : 2
Tứ giác ABCH có AB ║ CH (cùng ⊥ BH) và AB = CH nên là hình bình hành
⇒ 2 đường chéo AC, BH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà M là trung điểm của BH ⇒ M là trung điểm của AC
⇒ A đối xứng với C qua M (đpcm)
c, Gọi O = AH ∩ BD ⇒ OA = OH, OB = OD (vì ABHD là hình vuông)
Xét 2 tam giác vuông ΔMHD và ΔMHC có:
MH chung; MD = MC
⇒ ΔMHD = ΔMHC (c.g.c)
⇒ $\widehat{MDH}$ = $\widehat{MCH}$ hay $\widehat{QDH}$ = $\widehat{ACD}$
Lại có $\widehat{PDA}$ = $\widehat{ACD}$ (cùng phụ với $\widehat{CDI}$)
Suy ra: $\widehat{QDH}$ = $\widehat{PDA}$
ABHD là hình vuông ⇒ $\widehat{QHD}$ = $\widehat{PAD}$
Xét ΔPAD và ΔQHD có:
$\widehat{PAD}$ = $\widehat{QHD}$; AD = HD; $\widehat{PDA}$ = $\widehat{QDH}$
⇒ ΔPAD = ΔQHD (g.c.g)
⇒ DP = DQ, AP = HQ mà OA = OH
⇒ OP = OQ, lại có OB = OD
⇒ DPBQ là hình bình hành mà có DP = DQ
⇒ DPBQ là hình thoi (đpcm)
