a) Tứ giác $AMCP$ có
$AM=CP$ (giải thiết)
$AM\parallel CP$
$\Rightarrow AMCP$ là hình bình hành
Theo tích chất hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ta có:
$O$ là trung điểm của $AC\Rightarrow O$ là trung điểm của $MP$
$\Rightarrow M,O,P$ thẳng hàng.
Chứng minh tương tự với tứ giác $ANCQ$ là hình bình hành
$O$ là trung điểm của $AC\Rightarrow O$ là trung điểm $NQ$
$\Rightarrow N,O,Q$ thẳng hàng.
b) Tứ giác $MNPQ$ có hai đường chéo $MP$ và $NQ$ cắt nhau tạo $O$ là trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành
Ta có $ABCD$ là hình thoi $\Rightarrow AB=BC$
Và $AM=CN$ (giả thiết)
$\Rightarrow BM=AB-AM=BC-CN=BN$
$\Rightarrow \dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}$
Theo định lý $Ta$-$let$
$\Rightarrow MN\parallel AC$ (1)
Chứng minh tương tự $MQ\parallel BD$ (2)
Mà $AC\bot BD$ (3)
Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow MN\bot MQ$
$\Rightarrow \widehat{NMQ}=90^o$
Ta có $MNPQ$ là hình bình hành có $\widehat{NMQ}=90^o$
$\Rightarrow MNPQ$ là hình chữ nhật.
