Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Gọi \(M',\,\,N',\,\,P'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,BD,\,\,CD\), \(G,\,\,I\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(BCD,\,\,MNP\). Tính \(\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}}\) dựa vào tỉ số tam giác đồng dạng.- Tính tỉ số \(\dfrac{{OI}}{{AG}}\), sử dụng định lí Ta-lét.- Tính \(\dfrac{{{V_{OMNP}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{OI}}{{AG}}.\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}}\).- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích tứ diện đều cạnh \(a\) là \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).Giải chi tiết:Gọi \(M',\,\,N',\,\,P'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,BD,\,\,CD\), \(G,\,\,I\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(BCD,\,\,MNP\).Ta có: \(\dfrac{{MN}}{{M'N'}} = \dfrac{{AM}}{{AM'}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \Delta MNP \sim \Delta M'N'P'\) theo tỉ số \(\dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{4}{9}{S_{\Delta M'N'P'}}\).Lại có \(\Delta M'N'P' \sim \Delta DCB\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{2}\) nên \({S_{\Delta MNP}} = \dfrac{1}{4}{S_{\Delta BCD}}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta M'N'P'}} = \dfrac{1}{9}{S_{\Delta BCD}}\).Vì \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) nên \(\dfrac{{AO}}{{AG}} = \dfrac{3}{4}\).Áp dụng định lí Ta-lét: \(\dfrac{{AI}}{{AG}} = \dfrac{{AM}}{{AM'}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{AI}}{{AO}} = \dfrac{{AI}}{{AG}}:\dfrac{{AO}}{{AG}} = \dfrac{2}{3}:\dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{9}\)\( \Rightarrow \dfrac{{OI}}{{AO}} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow \dfrac{{OI}}{{AG}} = \dfrac{{OI}}{{AO}}.\dfrac{{AO}}{{AG}} = \dfrac{1}{9}.\dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{{12}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{OMNP}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{{12}}.\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{{108}} \Rightarrow {V_{OMNP}} = \dfrac{1}{{108}}{V_{ABCD}}\).Mà \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(1\) nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).Vậy \({V_{OMNP}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{1296}}\).Chọn D