a) Do M, N là trung điểm AO, BO nên MN là đường trung bình của tam giác OAB.
Suy ra MN//AB và $MN = \dfrac{1}{2} AB$.
Vậy tứ giác AMNB là hình thang.
Lại có OA = OB, suy ra tam giác OAB cân tại O.
Vậy $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$
Xét hình thang AMNB có $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$
Vậy AMNB là hình thang cân.
b) Do P là trung điểm CD nên
$PC = PD = \dfrac{1}{2} CD$
Lại có ABCD là hình vuông nên $CD = AB$.
Vậy
$PC = PD = \dfrac{1}{2} CD = \dfrac{1}{2} AB = MN$
Suy ra PD = MN.
Lại có MN//AB, AB//CD nên MN//PD.
Xét tứ giác MNPD có MN//PD và MN = PD.
Vậy tứ giác MNPD là hình bình hành.
c) Do O là giao điểm 2 đường chéo của hình vuông nên $AO \perp DN$.
Lại có MN//AB và $AB \perp AD$ nên $MN \perp AD$.
Lại có AO giao MN tại M, suy ra M là trực tâm của tam giác AND.
Suy ra $DM \perp AN$.
d) Ta có tứ giác MNPD là hình bình hành nên MD//PN.
Lại có $MD \perp AN$.
Suy ra $PN \perp AN$.
Vậy tam giác ANP vuông tại N. Lại có I là trung điểm AP nên MI là trung tuyến của tam giác, suy ra
$NI = IP = IA = \dfrac{1}{2} AP$.
Xét tam giác APD vuông tại D có I là trung điểm AP, suy ra DI là trung tuyến của tam giác, vậy
$DI = IA = IP = \dfrac{1}{2} AP$.
Vậy $NI = DI$.
Suy ra tam giác NID cân tại I.
