a) $\Delta ABC$ không đồng dạng với $\Delta FCB$ vì:
$\Delta ABC\bot$ cân đỉnh $ A$
còn $\Delta FCB$ là tam giác vuông tại $C$ không cân tại C.
b) Xét $\Delta KEF$ và $\Delta KAB$ có:
$\widehat K$ chung
$\widehat{KAB}=\widehat{KEF}$ (đồng vị)
$\Rightarrow\Delta KEF\sim\Delta KAB$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{KE}{KA}=\dfrac{KF}{KB}=\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{9+12+16}{12}$
Xét $\dfrac{KE}{KA}=\dfrac{9+12+16}{12}$
$\Rightarrow\dfrac{KE-KA}{KA}=\dfrac{9+12+16-12}{12}$ (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
$\Rightarrow\dfrac{AE}{KA}=\dfrac{25}{12}$ (1)
mà áp dụng định lý Pitago vào $\Delta AED\bot D$ có:
$AE^2=AD^2+DE^2=12^2+9^2\Rightarrow AE=15$
Thay vào (1) $\Rightarrow KA=\dfrac{15}{\frac{25}{12}}=7,2$cm
Tương tự xét với $\dfrac{KF}{KB}=\dfrac{9+12+16}{12}\Rightarrow KB=9,6$cm
$\Delta KEF$ có:
$EF=9+12+16=37$cm, $KE=7,2+15=22,2$cm
$KF=9,6+20=29,6$
$22,2^2+29,6^2=37^2$
$ \Rightarrow\Delta KEF\bot K$ (pitago đảo)
$P_{KEF}=88,8$cm
c) Xét $\Delta NME$ và $\Delta DAE$ có:
$\widehat N=\widehat D=90^o$, $\widehat E$ chung
$\Rightarrow\Delta NME\sim\Delta DAE$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{NM}{DA}=\dfrac{NE}{DE}$ (hai cạnh tương tỉ lệ)
$\Rightarrow 9NM=12NE$ (2)
Ta có: $\dfrac{S_{NME}}{S_{DAE}}=\dfrac{NM.NE}{DA.DE}=\dfrac{NM.NE}{12.9}$
$\dfrac{S_{DAE}}{S_{ABCD}}=\dfrac{\frac{DA.DE}2}{DA.DC}=\dfrac{\frac{12.9}2}{12.12}$
Nhân vế với vế hai phương trình ta được:
$\dfrac{S_{NME}}{S_{ABCD}}=\dfrac{NM.NE}{2.12.12}=\dfrac{1}{4}$ (yêu cầu của đề bài)
$\Rightarrow NM.NE=12.6$ (3)
Thay (2) và (3) ta được:
$\dfrac{12}9NE^2=12.6$
$\Rightarrow NE^2=54\Rightarrow NE=3\sqrt6$cm
$\Rightarrow NM=4\sqrt6$cm
$\Rightarrow ME=\sqrt{NE^2+NM^2}=5\sqrt6$cm
Vậy vị trí của điểm M là $EM=5\sqrt6$.
